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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 41

Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:

Passo 1

Beleza pessoal?! Espero que esteja com um copo de café na mão pois nossa questão dará um pouco de trabalho.

  1. O denominador onde tem duas raízes distintas da função quadrática, b usando a fórmula quadrática, obtenha as duas raízes da função quadrática

    2. s 1,2 = - 14 ± 14 ² - 4 ( 1 ( 245 ) 2 1

    =   - 7 ± j 14

    portanto, a função parcial é a seguinte,

    F s = 280 s + 7 - j 14 s + 7 + j 14

    = K 1 s + 7 - j 14 + K 1 * s + 7 + j 14

    Para obtermos K 1 iremos avaliar F s em s= s   =   - 7   + j 14

    K 1 = 280 s + 7 + j 14

    = 280 j 28

    = - j 10

    Agora a magnitude

    m a g n i t u d e   =   R e a l 2 + I m a g i n a r i a 2     ( 2 )

    =   0 2 + - 10 2   =   10

    Agora obtendo o ângulo

    A n g l e = t a n - 1 I m a g i n a r i a R e a l

    = t a n - 1 - 10 0 = t a n - 1 - ∞ = ∠ - 90 º

    K 1 = 10 ∠ 90 º

    Como k 1 * é o conjugado

    K 1 * = 10 ∠ - 90 º

    F(s) pode ser expresso então como4

    F s = 10 e j ∠ 90 º s + 7 - j 14 + 10 e j ∠ - 90 º s + 7 + j 14

    O par conjugado complexo pode ser transformado inversamente como

    L K 1 s + α - j β + K 1 * s + α + j β = 2 K e - α t c o s β t + θ     ( 4 )

    Da tabela 12.1 e de (4)

    f t = 2 10 e - 7 t c o s 14 t - 45 º u t

    Assim,

    f t = 20 e - 7 t s i n 14 t u t

    Passo 2

  2. O denominador aqui tem três raízes distintas que ocorrem em s = 0 e nas duas raízes da função quadrática, b usando a fórmula quadrática, obtenha as duas raízes da função quadrática

    3. s 1,2 = - 10 ± 10 2 - 4 1 89 2 1

    = - 10 ± 16 j 2

    = - 5   ±   j 8

    Portanto, a função parcial é a seguinte,

    F s = - s 2 + 52 s + 445 s s + 5 - j 8 s + 5 + j 8

    = K 1 s + K 2 s + 5 - j 8 + K 2 * s + 5 + j 8

    Para obtermos K 1 devemos avaliar F(s) em s = 0

    K 1 = - s 2 + 52 s + 445 s 2 + 10 s + 89

    K 1 = 5

    Para obtermos K 2 devemos avaliar F(s) para s   =   - 5   +   j 8

    K 2 = - s 2 + 52 s + 445 s s + 5 + j 8

    = - 25 + j 80 + 64 - 260 + j 416 + 445 - j 80 - 128

    = 224 + j 496 - 128 - j 80

    = 14 + j 31 - 8 - j 5

    = 14 + j 31 - 8 + j 5 - 8 - j 5 - 8 + j 5

    = - 267 - j 178 89

    =   -   3   -   j 2

    Obtendo a magnitude de (2)

    M a g n i t u d e     =   - 3 2 + - 2 2   =   3.6

    Obtendo o ângulo de (3)

    A n g l e = t a n - 1 - 2 - 3

    = ∠ 33,7 º   =   ∠ - 146.3 º

    Assim,

    K 2 = 3.6 ∠ - 146.3 º

    Para K 2 *

    K 2 * = 3.62 ∠ 146.3 º

    F(s) pode ser expressa por

    F s = 5 s + 3.62 j ∠ - 146.31 º s + 5 - j 8 + 3.62 e 146.31 s + 5 + j 8

    De (4), o par conjugado complexo pode ser transformado inversamente como

    f t = 2 3.62 e - 5 t c o s 8 t - 146.31 º u t

    Usando a tabela 12.1 e (4), f(t) pode ser expressa como

    f t = 5 + 7.2 e - 5 t c o s 8 t - 146.31 º u t

    Passo 3

  3. o denominador aqui tem três raízes distintas que ocorrem em s = -6 e as duas raízes da função quadrática, usando a fórmula quadrática (1), obtém as duas raízes da função quadrática.

S 1,2 = - 4 ± 4 2 - 4 1 20 2 1

= - 4 ± 8 j 2

= -   2   ± j 4

em frações parciais, temos

F s = K 1 s + 6 + K 2 s + 2 - j 4 + K 2 * s + 2 + j 4

Agora para obtermos K 1 iremos avaliar F(s) em s = -6, como já fizemos esses passos antes irei apenas colocar os valores encontrados para s constantes.

K 1 = 10

Para K 2 iremos avaliar para s = - 2 + 4

K 2 = 2 j + 2

Agora iremos obter a magnitude

m a g n i t u d e     =   2 2 + 2 2

=   2 2

Agora obtendo o ângulo (3)

a n g l e = t a n - 1 2 2 = t a n - 1 1

= ∠ 45 º

Temos,

K 2 = 2.82 ∠ 45 º

E

K 2 * = 2.83 ∠ - 45 º

F(s) pode ser expressa

F s = 10 s + 6 + 2.83 e j ∠ 45 º s + 2 - j 4 + 2.83 e ∠ - 45 º s + 2 + j 4

De (4), o par conjugado complexo pode ser transformado inversamente como

f t = 2 2.83 e - 2 t c o s 4 t + 45 º u t

Da tabela 12.1 e (4), f(t) pode ser expressa por

f t = 10 e - 6 t + 5.66 e - 2 t c o s 4 t + 45 º u t

Passo 2

O denominador aqui tem quatro raízes distintas que ocorrem nas quatro raízes das duas funções quadráticas, usando a fórmula quadrática (1), obtenha as quatro raízes da função quadrática

s 1,2 = - 10 ± 10 2 - 4 1 34 2 1

=   -   5   ± 6 j

Agora para a segunda equação, onde a = 1, b = 8 e c = 20

s 1,2 = - 8 ± 8 2 - 4 1 20 2 1

= - 4 ± j 2

Assim a função em frações parciais é

F s = K 1 s + 5 - j 3 + K 1 * s + 5 + j 3 K 2 s + 4 - j 2 + K 2 * s + 4 + j 2

Agora para obtermos K 1 vamos avaliar F(s) para s = -5 + j3, como já fizemos isso varias vezes aqui, acredito que você já tenha entendido meu caro aluno, então iremos apenas pular alguns passos.

K 1 = 8 s + 1 2 s + 5 + j 3 s 2 + 8 s + 20

=   3.54 - j 2.97

Obtendo a magnitude

m a g n i t u d e   =   ( 3.54 ) ²   +   ( 2.97 ) ) ²   =   4.62

Agora o ângulo

a n g u l o = t a n - 1 - 2.97 3.54 = ∠ - 40 º

K 1 = 4.62 ∠ - 40 º = 4.62 e j ∠ - 40 º

E

k 1 * = 4.62 ∠ 40 º = 4.62 e j ∠ 40 º

Para obtermos ○ K 2 iremos avaliar F(s) em s = -4 + j2

K 2 = 8 s + 1 2 s + 4 + j 2 s 2 + 10 s + 34

= 8 - 4 + j 2 + 1 2 - 4 + j 2 + 4 + j 2 - 4 + j 2 2 + 10 - 4 + j 2 + 34

= 3.53   +   j 0.69

Calculando d magnitude e o ângulo

m a g n i t u d e   =   3.53 2 + 0.69 2   =   3.6

a n g u l o = t a n - 1 9 0.69 3.53 = ∠ 11.06 º

= ∠ 180 º - 11.06 º = ∠ 168.9 4 º

Assim,

K 2 = 3.6 ∠ 168.946 º = 3.6 e j ∠ 11.06 º

Para K 2 *

K 2 * = 3.6 ∠ - 168.946 º = 3.6 e j ∠ - 11.06 º

Assim podemos escrever F(s)

F s = 4.62 e j ∠ - 40 º s + 5 - j 3 + 4.62 e j ∠ - 40 º s + 5 + j 3 + 3.6 e ∠ 168.94 º s + 4 - j 2 + - 3.6 e ∠ - 168.94 º s + 4 + j 2

De (4), finalmente podemos terminar a questão escrevendo

f t = 9.24 e - 5 t c o s 3 t - 40 º + 7.2 e - 4 t c o s 2 t + 168.94 º u t

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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