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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 76

a) Determine as expressões de regime permanente para as correntes ig e iL no circuito da

Figura P9.76, quando vg = 168 cos 800t V.

b) Determine o coeficiente de acoplamento.

c) Determine a energia armazenada nos enrolamentos magneticamente acoplados em t = 625p ms e t = 1.250p ms.

Passo 1

  1. Primeiro iremos determinar o valor a impedância do indutor de 100 mH,

    2. Z L 1   =   j w ( 100 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j ( 800 ) ( 100 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j 80 Ω

    agora iremos determinar a impedância do indutor de 400 mH,

    Z L 2   =   j w ( 400 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j ( 800 ) ( 400 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j 320   Ω

    agora iremos determinar a impedância de indutância mútua de 100 mH

    Z L 3   =   j w ( 100 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j ( 800 ) ( 100 ∙ 10 ⁻ 3 )

    = j 80   Ω

    escreva as duas equações de corrente de malha do circuito,

    A primeira equação da corrente de malha é dada por,

    168   =   ( 80   +   Z L 1 ) I g   +   Z L 3 I L

    168   =   ( 80   +   j 80 ) I g   +   j 80 I L       ( 1 )

    A segunda equação da corrente de malha é dada por,

    0   =   Z L 3 I g + ( 240   +   Z L 2 ) I L

    0   =   j 80 I g   +   ( 240   +   j 320 ) I L       ( 2 )

    onde,

    I g é a corrente de malha da malha da fonte de tensão.

    I L é a corrente de malha do loop de 240 Ω resistores.

    de (1), a corrente I g é dada por,

    I g   =   168 - j 80 I L 80   +   j 80     ( 3 )

    Substitua (3) em (2) para determinar os valores de I L ,

    0   =   j 80 ( 168   -   j 80 I L 80   +   j 80 ) + ( 240   +   j 320 ) I L

    então,

    I L   =   - 84   -   j 84 280   +   j 280  

    = - 0.3   A

    substituindo I L em (2) para determinar o valor de I g ,

    0   =   j 80 I g + ( 240   +   j 320 ) I L

    0   =   j 80 I g   +   ( 240   +   j 320 ) ( - 0.3 )

    então,

    I g   =   1.2   -   j 0.9

    = 1.5 ∠ - 36.87 ⁰   A

    A expressão de estado estacionário para a corrente i g é dada por,

    i g   =   1.5 c o s ( 800 t   -   36.87 ⁰ )   A

    A expressão de estado estacionário para a corrente i L é dada por,

    i g   =   0.3 c o s ( 800 t   -   180 ⁰ )   A

    Passo 2

  2. Determine o coeficiente de acoplamento k,

    3. k   =   M L 1 L 2

    = 0.1 ( 0.1 ) ( 0.4 )

    = 0.5

    onde,

    M é a indutância mútua de 100 mH.

    L1 é o indutor do lado primário do transformador de 100 mH.

    L1 é o indutor do lado secundário do transformador de 400 mH.

  3. para t   =   625 π   μ s , o valor do ângulo 800t é dado por,

800 t   =   ( 800 ) ( 625 π ∙ 10 ⁻ ⁶ )

= 0.5 π   r a d

=   90 ⁰

a corrente i g é dada por,

i g ( 625 π )   =   1.5 c o s ( 90 ⁰   -   36.87 ⁰ )

= 1.5   c o s ( 53.13 ⁰ )

= 0.9   A

a corrente i L é dada por,

i L ( 625 π )   =   0.3   c o s ( 90 ⁰ - 180 ⁰ )

= 0.3   c o s   ( - 90 ⁰ )

= 0   A

determinar a energia armazenada nas bobinas acopladas magneticamente w 1 ,

w 1   =   1 2 L 1 i g ²   +   1 2 L 2 i ² L + M i i L

=   1 2 ( 100 ∙ 10 ⁻ ³ ) ( 0.9 ) ²   +   0   +   0

= 40.5   m J

Passo 2

para t, o valor do ângulo 800t é dado por,

800 t   =   ( 800 ) ( 1250 π ∙ 10 ⁻ ⁶ )

= π   r a d  

= 180 ⁰

a corrente i g é dada por,

i g ( 1250 π )   =   1.5   c o s ( 180 ⁰ - 36.87 ⁰ )

= 1.5   c o s ( 143.13 ⁰ )

= - 1.2   A

a corrente i L é dada por,

i L ( 1250 π     =   0.3   c o s ( 180 ⁰ - 180 ⁰ )

= 0.3   c o s   ( 0 ⁰ )

= 0.3   A

para t, o valor do ângulo 800t é dado por w 2 ,

w 2   =   1 2 L i i g ²   +   1 2 L 2 i ² L   +   M i g i L

= 1 2 ( 100 ∙ 10 ⁻ ³ ) ( - 1.2 ) ² + 1 2 ( 400 ∙ 10 ⁻ ³ ) ( 0.3 ) ²   +   ( 100 ∙ 10 ⁻ ³ ) ( - 1.2 ) ( 0.3 )

= 54   m J

Resposta

  1. i g   =   1.5   c o s   ( 800 t   -   36.87 ⁰ )   A ;   i L   =   0 . c o s ( 800 t   -   180 ⁰ )   A
  2. k   =   0.5
  3. w 1   =   40.5   m J ;   w 2   =   54 m J

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