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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 36

a) Determine as seis correntes de ramo I a - I f no circuito da Figura P10.36.

b) Determine a potência complexa em cada ramo do circuito.

c) Confirme seus cálculos verificando se a potência média fornecida é igual à potência média dissipada.

d) Confirme seus cálculos verificando se a potência reativa gerada é igual à potência reativa absorvida.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Primeiro, vamos escrever as três equações de malhas. A primeira é dada por

j 10 I 1 - I 2 + j 10 I 3 - I 2 + 10 I 1 - I 3 = 50

Rearranjando, nós temos que

10 + j 10 I 1 + - j 20 I 2 + - 10 + j 10 I 3 = 50     ( 1 )

A segunda equação da corrente de malha é dada por

10 I 2 + j 20 I 2 - I 3 + j 10 I 2 - I 1 + j 10 I 2 - I 1 + j 10 I 2 - I 3 = 0

Rearranjando novamente,

- j 20 I 1 + 10 + j 50 I 2 + - j 30 I 3 = 0     ( 2 )

E a terceira equação

- j 10 I 3 + 10 I 3 - I 2 + j 20 I 3 - I 2 + j 10 I 1 - I 2 = 0

Com isso, nós temos que

- 10 + j 10 I 1 + - j 30 I 2 + 10 + j 10 I 3 = 0

De (2), nós temos que

I 1 = 2,5 - j 0,5 I 2 - 1,5 I 3     ( 4 )

Substituindo (4) em (3), nós obtemos o seguinte

- 10 + j 10 2,5 - j 0,5 I 2 - 1,5 I 3 + - j 30 I 2 + 10 + j 10 I 3 = 0

Portanto,

- 20 I 2 + 25 - j 5 I 3 = 0     ( 5 )

Substituindo (4) em (1)

- 10 + j 10 2,5 - j 0,5 I 2 - 1,5 I 3 + - j 20 I 2 + 10 + j 10 I 3 = 50

Com isso,

30 I 2 + - 25 - j 5 I 3   ( 6 )

Passo 2

Multiplicando (6) por 1,5 e adicionando o resultado em (5)

30 I 2 + - 25 - j 5 I 3 - 30 I 2 + 37,5 - j 7,5 I 3 = 50 + 0

Com isso,

12,5 - j 12,5 I 3 = 50

Portanto,

I 3 = 2 + j 2   A r m s

Agora, substituindo I 3 em (2)

- j 20 I 1 + 10 + j 50 I 2 + - j 30 2 + j 2 = 0

Com isso, nós temos que

- j 20 I 1 + 10 + j 50 I 2 + 60 - j 60 = 0

Rearranjando,

- 60 + j 60 = - j 20 I 1 + 10 + j 50 I 2   ( 7 )

Substituindo I 3 em (1)

10 + j 10 I 1 + - j 20 I 2 + - 10 + j 10 2 + j 2 = 50

Desenvolvendo os termos

10 + j 10 I 1 + - j 20 I 2 - 40 = 50

Rearranjando

10 + j 10 I 1 + - j 20 I 2 = 90     ( 8 )

De (8), podemos isolar I 1

I 1 = 90 + j 20 I 2 10 + j 10

Com isso, nós temos que

I 1 = 4,5 - j 4,5 + 1 + j I 2     9

Substituindo (9) em (7)

- 60 + j 60 = - j 20 4,5 - j 4,5 + 1 + j I 2 + 10 + j 50 I 2

Com isso, nós temos que

- 60 + j 60 = 30 + j 30 I 2 + ( - 90 - j 90 )

Portanto,

I 2 = 3 + j 2   A ( r m s )

Substituindo I 2 em (9)

I 1 = 4,5 - j 4,5 + 1 + j 3 + j 2 = 5,5 + j 0,5   A ( r m s )

Passo 3

O valor da corrente de I a é dado por

I a = I 1 = 5,5 + j 0,5   A ( r m s )

Portanto,

I a = 5,5 + j 0,5   A ( r m s )

O valor de I b é dado por

I b = I 1 - I 2

Substituindo os valores, nós temos que

I b = 5,5 + j 0,5 - 3 + j 2 = 2,5 - j 1,5   A ( r m s )

O valor de I c é dado por

I c = I 2

Com isso,

I c = 3 + j 2   A ( r m s )

Passo 4

O valor de I d é dado por

I d = I 3 - I 2

Substituindo os valores, nós temos que

I d = 2 + j 2 - 3 + j 2 = - 1   A ( r m s )

Portanto,

I d = - 1   A ( r m s )

O valor de I e é dado que

I e = I 1 - I 3

Substituindo os valores, nós temos que

I e = 5,5 + j 0,5 - 2 + j 2 = 3,5 - j 1,5   A ( r m s )

Portanto,

I e = 3,5 - j 1,5   A ( r m s )

E finalmente, o valor de I f é dado por

I f = I 3

Com isso, nós temos que

I f = 2 + j 2   A ( r m s )

Passo 5

B – A tensão V a do ramo a é dado por,

V a = 50   V r m s

A tensão V b do ramo b é dado por

V b = j 10 I b + j 10 I d

Substituindo os valores, nós temos que

V b = j 10 2,5 - j 1,5 + j 10 - 1

Portanto,

V b = 15 + j 15   V r m s

E a tensão V c do ramo c é dada por

V c = 10 I c

Substituindo os termos, nós temos que

V c = 10 3 + j 2 = 30 + j 20   V ( r m s )

A tensão V d no ramo d é dado por

V d = j 20 I d + j 10 I b

Substituindo os termos, nós obtemos o seguinte resultado

V d = j 20 - 1 + j 10 2,5 - j 1,5 = 15 + j 5   V r m s

A tensão V e do ramo e é igual a

V e = 10 I e

Com isso, nós temos que

V e = 10 3,5 - j 1,5 = 35 - j 15   V r m s

A tensão V f do ramo f é dada por

V f = - j 10 I f

Substituindo os termos,

V f = - j 10 2 + j 2 = 20 - j 20   V ( r m s )

Passo 6

A potência complexa S a do ramo a é igual a

S a = - V a I a *

Com isso, nós temos que

S a = - 50 5,5 - j 0,5 = - 275 + j 25   V A  

Onde o sinal negativo indica que a potência complexa é desenvolvida pela fonte de tensão

S a = - 275 + j 25   V A

A potência complexa S b do ramo b é dado por

S b = V b I b *

Fazendo a substituição, nós temos que

S b = 15 + j 15 2,5 + j 1,5 = 15 + j 60   V A

Portanto,

S b = 15 + j 60   V A  

A potência complexa S c do ramo c é dado por

S c = V c I c *

Substituindo os valores, nós temos que

S c = 30 + j 20 3 - j 2 = 130 + j 0   V A

Passo 7

A potência complexa de S d do ramo d é igual a

S d = V d I d *

Com a substituição de valores, nós temos que

S d = 15 + j 5 - 1 = - 15 - j 5   V A

Portanto,

S d = - 15 - j 5   V A  

A potência complexa de S e do ramo e é igual a

S e = V e I e *

Com a substituição de valores, nós temos que

S e = 35 - j 15 3,5 + j 1,5 = 145 - j 0   V A

Portanto,

S e = 145 - j 0   V A

A potência complexa de S f do ramo f é igual a

S f = V f I f *

Com a substituição de valores, nós temos que

S f = 20 - j 20 2 - j 2

Com isso,

S f = 0 - j 80   V A

Passo 8

C - Determinando a magnitude da potência média total desenvolvida P v

P v = P a + P d

Fazendo a substituição,

P v = - 275 - 15 = 290   W

A potência total dissipada P s

P s = P b + P c + P e + P f

Novamente, fazendo a substituição,

P s = 15 + 130 + 145 = 290   W

A magnitude da potência média total desenvolvida é igual à potência média total dissipada.

P v = P s

Passo 9

D - Determinando a magnitude dos vars de magnetização totais desenvolvidos Q v

Q v = Q d + p f

Com isso,

Q v = - 5 - 80 = 85   V A R

A magnitude da magnetização total de vars absorvidos Q s

Q s = Q a + Q b

Substituindo

Q s = 25 + 60 = 85   V A R

Logo,

Q v = Q s

Resposta

a )   I a = 5,5 + j 0,5   A ( r m s )

I b = 2 , 5 - j 1 , 5   A ( r m s )

I c = 3 + j 2   A ( r m s )

I d = - 1   A ( r m s )

I e = 3 , 5 - j 1 , 5   A ( r m s )

I f = 2 + j 2   A ( r m s )

b )   S a = - 275 + j 25   V A

S b = 15 + j 60   V A

S c = 130 + j 0   V A

S d = - 1 5 - j 5   V A

S e = 14 5 + j 0   V A

S f = 0 - j 80   V A

c )   P v = P s

d )   Q v = Q s

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