Enunciado

Determine v(t) para t > 0 no circuito da Figura 8.83.

Passo 1

Vamos seguir o passo a passo do sucesso para responder esse tipo de questão. Primeiro analisaremos o circuito quando t = 0-:

Como sabemos, antes de t = 0, o capacitor age como um circuito aberto, enquanto o indutor se comporta como um curto-circuito. Então:

  i L 0 = 0    

v 0 = v C ( 0 ) = 8   V

Passo 2

Para t > 0, teremos um circuito RLC série. E o que devemos fazer nesse caso?

Isso mesmo, devemos calcular α, ω0 e S.

α = R 2 L = 2 2 = 1

ω o =   1 L C = 1 1 5 =   5

Como α

s 1,2 = - α ± α 2 - ω o 2 = 1 ± j 2

Passo 3

Conhecendo os valores de e podemos iniciar a montagem da equação de resposta natural.

v t = V s + A c o s 2 t +   B s i n 2 t e - t ,     V s = 12

Nos resta agora encontrar A e B. Fazendo t = 0:

v 0 = 8 = 12 + A           →           A = - 4    

i 0 = C ∙ d v 0 d t = 0

Passo 4

Fazendo:

d v d t = [ - A c o s ( 2 t ) + B s i n ( 2 t ) e - t ] + [ 2 - A s i n ( 2 t ) + B c o s ( 2 t ) e - t ]  

Ao aplicar t = 0, encontramos:

0 =   d v 0 d t = - A   +   2 B               →             2 B = A

  B = - 2

Resposta

v ( t ) = { 12   – 4 cos ⁡ 2 t + 2 sin ⁡ 2 t e - t }   V

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Calcule a resposta forçada se d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 4 x = f t Onde f ( t ) é dado por (a) 6 e - 2 t , (b) 6 t e - 2 t .Sugestão: Em (b), tente x f = A t 3 e - 2 t
Calcule a resposta forçada se d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 3 x = f t Onde f ( t ) é dado por (a) 2 e - 3 t + 6 e - 4 t , (b) 4 e - t + 2 e - 3 t
Calcule x , t0 , onde d x d t + 2 x + ∫ 0 t x d t = f t x 0 = - 1 E ( a ) f t = 1 e b f t = t 2
Calcule v para t0, se 0 circuito esta em regime permanente em t = 0.
Para o circuito do Exemplo 8.8, determine v ( t ) para t ≥ 0.