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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 77

A fonte de tensão senoidal no circuito visto na Figura P9.77 está funcionando a uma

frequência de 200 krad/s. O coeficiente de acoplamento é ajustado até que o valor de pico de i1 seja máximo.

a) Qual é o valor de k?

b) Se vg = 560 cos(2 * 10 5t) V, qual é a amplitude máxima de i1?

Passo 1

  1. Primeiro iremos determinar o valor a impedância do indutor de 1 mH,

    2. Z L 1   =   j w ( 1 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j ( 200 ∙ 10 ³ ) ( 100 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j 200 Ω

    agora iremos determinar a impedância do indutor de 4 mH,

    Z L 2   =   j w ( 4 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j ( 200 ∙ 10 ³ ) ( 4 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j 800   Ω

    determinando a impedância do capacitor de 12.5 nF

    Z c   =   1 j w C

    = 1 j ( 200 ∙ 10 ³ ) ( 12.5 ∙ 10 ⁻ ⁹ )

    = - j 400 Ω

    A impedância do lado secundário do transformador é dada por,

    Z 22   =   100   +   200   +   Z L 2   +   Z C

    =   100   +   200   +   j 800   -   j 400

    =   300   +   j 400   Ω

    a indutância mútua M é dada por,

    M   =   k L 1 L 2

    = k ( 10 ⁻ ³ ) ( 4 ∙ 10 ⁻ ³ )

    = 2 k ∙ 10 ⁻ ³

    Onde,

    -L1 é a indutância de 1mH

    -L2 é a indutância de 4 mH

    Portanto, a impedância da indutância mútua é dada por,

    Z M = j w M

    = j ( 200 ∙ 10 ³ ) ( 2 k ∙ 10 ⁻ ³ )

    = j 400 k

    Determine a impedância refletida no enrolamento primário Zr,

    Z r =   ( w M ) ² | Z 22 | ² 2 Z * 22

    = ( 400 k ) ² ( 300 ) ² + ( 400 ) ² ( 300 - j 400 )

    = k ² ( 192 - j 256 )   Ω

    A impedância vista nos terminais da fonte de tensão é dada por,

    Z i n   =   150   +   50   +   Z L 1   +   Z r

    =   200   +   j 200   +   19 2 k ² - j 256 k ²

    = ( 200 + 192 k ² ) + j ( 200 - 256 k ² )

    A magnitude de Z i n é dada por,

    | Z i n |   =   [ ( 200 + 192 k ² ) ²   +   ( 200 - 256 k ² ) ² ] 1 / 2

    a corrente máxima é fornecida pela fonte de tensão quando o valor de | Z i n | é mínimo

    Para obter o valor de k no qual a corrente i 1 é máxima, diferencie | Z i n | em relação a k e iguale o resultado a zero

    d | Z i n | d k   = 1 2 [ ( 200 + 192 k ² ) ² + ( 200 - 256 k ² ) ² ] - 1 / 2  

    ∙ [ 2 ( 200 + 192 k ² ) ( 384 k ) + 2 ( 200 - 256 k ² ) ( - 512 k ) ]       ( 1 )

    igualar (1) a zero para determinar o valor de k no qual a corrente i é máxima,

    768 k ( 200   +   192 k ² ) - 1024 ( 200 - 256 k ² ) = 0

    então,

    409600 k ³   -   51200 k   =   0

    k   =   0.3535

    ou

    k   =   - 0.3535

    ou

    k   =   0

    Passo 2

    O valor de k = -0,3535 é rejeitado, pois a impedância de indutância mútua não é negativa.

    O valor de k = 0 é rejeitado, pois resulta em valor de | Z i n | maior que k = 0,3535,

    | Z i n | k   =   0.354 = [ ( 200   +   192 ( 0.3535 ) ² ) ²   +   ( 200 - 256 ( 0.3535 ) ² ) ² ] 1 / 2

    = 280   Ω

    | Z i n | k   =   0 = [ ( 200   +   192 ( 0 ) ² ) ²   +   ( 200 - 256 ( 0 ) ² ) ² ] 1 / 2

    = 282.8   Ω

  2. Determine o valor mínimo de Zin em k = 0.3535,

Z i n ( m i n )   =   200   +   j 200   +   192 ( 0.3535 ) ²   -   j 256 ( 0.3535 ) ²

= 224   +   j 168

= 280 ∠ 36.87 ⁰   Ω

Determine a amplitude de pico atual i 1 (pico),

i 1 ( p i c o )   =   v g Z i n ( m i n )

= 560 ∠ 0 ⁰ 224   +   j 168

= 1.6   -   j 1.2

= 2 ∠ - 36.87 ⁰   A

Resposta

  1. k   =   0.3535
  2. i 1 ( p i c o )   =   2 A  

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