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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 29

Para um sistema trifásico equilibrado, se as tensões de fase são

v a ( t ) = V m cos ⁡ ( ω t )

v b ( t ) = V m cos ⁡ ( ω t - 120 ° )

v c ( t ) = V m cos ⁡ ( ω t - 240 ° )

Então as correntes de fase são

i a t = I m cos ⁡ ( ω t - θ )

i b t = I m cos ⁡ ( ω t - θ - 120 ° )

i c t = I m cos ⁡ ( ω t - θ - 24 0 ° )

Mostre que a potência total instantânea

p t = v a i a + v b i b + v c i c

É uma constante dada por

p t = 3 2 V m I m cos ⁡ θ

Que é também P , a potência média total. [Sugestão: lembre-se que cos ⁡ α + cos ⁡ α - 120 ° + cos ⁡ α - 24 0 ° = 0 .]

Passo 1

Me diz uma coisa... a primeira coisa que vc pensou foi:

Mas não se preocupe não!! Aqui vamos fazer só umas manipulações algébricas que vai dar certo!! ;)

Para se tornar mais simples e menos complicado de se confundir, vamos fazer isso aqui em partes dessa forma:

p t = v a i a + v b i b + v c i c = p a + p b + p c

Vamos fazer primeiro p a e depois é só fazermos analogias para p b e p c considerando os ângulos!

Passo 2

Assim, temos que:

p a = V m I m cos ⁡ ( ω t ) cos ⁡ ( ω t - θ )

Vamos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x y = 1 2 [ cos ⁡ x - y + c o s ⁡ ( x + y ) ]  

Dessa forma, temos:

p a = V m I m 2 cos ⁡ ω t - ω t + θ + cos ⁡ ω t + ω t - θ ∴

p a = V m I m 2 [ cos ⁡ θ + cos ⁡ ( 2 ω t - θ ) ]

Nesse sentido, generalizando para p b e p c , temos:

p b = V m I m 2 [ cos ⁡ θ + cos ⁡ ( 2 ω t - θ - 240 ° ) ]

p c = V m I m 2 [ cos ⁡ θ + cos ⁡ ( 2 ω t - θ - 480 ° ) ]

Passo 3

Assim, temos:

P = p a + p b + p c ∴

P = 3 V m I m cos ⁡ θ 2 + V m I m 2 [ cos ⁡ 2 ω t - θ + cos ⁡ 2 ω t - θ - 240 ° + cos ⁡ ( 2 ω t - θ - 480 ° ) ]

Vamos relembrar da sugestão que o enunciado nos propôs:

cos ⁡ α + cos ⁡ α - 120 ° + cos ⁡ α - 240 ° = 0

Assim, toooodo aquele segundo termo da soma será igual a zero!!! Então teremos que:

P = 3 V m I m cos ⁡ θ 2

Resposta

P = 3 V m I m cos ⁡ θ 2

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