Enunciado

Suponha que o indutor, no circuito mostrado na Figura 8.1, tenha um valor de 10 mH. A resposta de tensão para t ≥ 0 é

v t = 40 e - 1000 t - 90 e - 4000 t   V .

a) Determine os valores numéricos de ω 0 , α , C e R.

b) Calcule i R t ,   i L ( t ) e i C ( t ) para t ≥ 0 + .

Passo 1

Faaala, galerinha!! Como vocês estão? Partiu resolver mais uma questãozinha?

Primeiramente, resolveremos o item (a), onde calcularemos primeiramente o valor de α .

Para isso, partiremos da equação de v ( t ) dada no enunciado, de onde podemos formar o seguinte sistema:

- α + α 2 - ω 0 2 = - 1000 - α - α 2 - ω 0 2 = - 4000

Somando as duas equações acima, teremos que:

- 2 α = - 5000     →       α = 2500   r a d / s

Passo 2

Para o valor de ω 0 , utilizaremos o valor de α acima e substituiremos em uma das equações do sistema:

- 2500 ± 2500 2 - ω 0 2 = - 1000

Portanto: 2500 2 - ω 0 2 = 15000

- ω 0 2 = 15000 2 - 25000 2       →       ω 0 = 2000

Passo 3

Para calcularmos o valor de C, substituiremos os valores encontrados nos itens anteriores, bem como o valor de L fornecido no enunciado, na seguinte fórmula:

ω 0 2 = 1 L C = 1 0,01 C = 2000 2

Sendo assim, temos que:

C = 1 ( 0,01 ) ( 2000 2 ) = 25   μ F

Passo 4

Já para encontrarmos o valor de R (último item pedido no item a), faremos uso da seguinte fórmula:

α = 1 2 R C

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores, temos que:

2500 = 1 2 R 25 * 10 - 6

R = 1 2 ( 25 * 10 - 6 ) ( 25000 ) = 8   Ω

Passo 5

Partindo para a resolução do item (b), como o enunciado pediu o cálculo para valores de t ≥ 0 + , utilizaremos as seguintes fórmulas:

i R = v t R

i C = C d v t d t

i L = - ( i R + i C )

Desse modo, teremos:

i R = v t R = 5 e - 1000 t - 11,25 e - 4000 t   A

i C = C d v t d t = 9 e - 4000 t - e - 1000 t   A

i L = - i R + i C = 2,25 e - 4000 t - 4 e - 1000 t   A

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

a) α = 2500   r a d / s ; ω 0 = 2000 ; C = 25   μ F ; R = 8   Ω .

b) i R = 5 e - 1000 t - 11,25 e - 4000 t   A ;

i C = 9 e - 4000 t - e - 1000 t   A ;

i L = 2,25 e - 4000 t - 4 e - 1000 t   A .

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