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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 6

A resposta natural do circuito na Figura 8.1 é

v t = 120 e - 400 t cos ⁡ 300 t + 80 e - 400 t sin ⁡ 300 t   V ,

quando o capacitor é de 250 μ F . Determine (a) L; (b) R; (c) V 0 ; (d) I 0 e (e) i L ( t ) .

Passo 1

Faaala, galerinha!! Como vocês estão? Partiu resolver mais uma questãozinha?

Antes de tudo, para determinar os valores pedidos no enunciado, precisamos encontrar os valores de α , ω 0 e ω d , os quais serão base para esse exercício.

A partir da equação dada no enunciado ( v t = 120 e - 400 t cos ⁡ 300 t + 80 e - 400 t sin ⁡ 300 t ), podemos obter os valores de α e ω d , uma vez que:

v t = 120 e - α t cos ⁡ ω d t + 80 e - α t sin ⁡ ω d t

Sendo assim, teremos que: α = 400 e ω d = 300 .

Já para o valor de ω 0 , podemos calculá-lo utilizando os valores encontrados acima:

ω d = ω 0 2 - α 2

ω 0 2 = 300 2 + 400 2

ω 0 = 25 * 10 4

Passo 2

Calculando o item (a), teremos que: ω 0 = 1 L C

O valor de C foi dado no enunciado, e o valor de ω 0 foi encontrado no passo anterior. Desse modo, teremos:

25 * 10 4 = 1 L 250 * 10 - 6     →       L = 16   m H

Passo 3

Já para o item (b), faremos uso da seguinte fórmula: α = 1 2 R C

O valor de C foi dado no enunciado, e o valor de α foi encontrado no passo 1. Desse modo, teremos:

400 = 1 2 R ( 250 * 10 - 6 )       →       R = 5   Ω

Passo 4

Indo para o item (c), podemos afirmar que nesse caso o valor de V 0 será igual a v 0 .

Desse modo, fazendo v 0 , teremos:

v 0 = 120 e - 400 ( 0 ) cos ⁡ 300 ( 0 ) + 80 e - 400 ( 0 ) sin ⁡ 300 0  

V 0 = v 0 = 120   V

Passo 5

Para calcular o item (d), nesse caso temos que I 0 = i L ( 0 )

Porém, para encontrarmos o valor de i L ( 0 ) devemos primeiramente achar o valor de i R ( 0 ) e de i C ( 0 ) , uma vez que: i L ( 0 ) = - i R ( 0 ) - i C ( 0 ) .

Sendo assim, temos que:

i R 0 = V 0 R = 120 5 = 24   A

i C 0 = C d v d t 0 = 250 * 10 - 6 - 400 120 + 300 80 = - 6   A

I 0 = i L 0 = - 24 - - 6 = - 18   A

Passo 6

Por fim, para encontrarmos o valor de i L ( t ) , devemos primeiramente calcular os valores de i R ( t ) e de i C ( t ) , uma vez que: i L ( t ) = - i R ( t ) - i C ( t ) .

Sendo assim, teremos que:

i C t = C d v d t t = 250 * 10 - 6 d v d t t = e - 400 t 24 cos ⁡ 300 t + 16 sin ⁡ 300 t A

i R t = v t R = v t 5 = e - 400 t 24 cos ⁡ 300 t + 16 sin ⁡ 300 t A

i L t = - i R t - i C t = e - 400 t - 18 cos ⁡ 300 t + sin ⁡ 300 t A

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

a) L = 16   m H ;

b) R = 5   Ω ;

c) V 0 = 120   V ;

d) I 0 = - 18   A ;

e) i L t = e - 400 t - 18 cos ⁡ 300 t + sin ⁡ 300 t   A .

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