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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 12.1 - Ex. 1

Verifique as integrais da Tabela 12.1.

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

A questão nos solicitou para verificar as integrais da tabela 12.1, da seguinte forma:

f ( t ) -> int_0^(2 pi // omega) f ( t ) d t

Então bora lá! 😎

Função 1) f (t) = s e n (omega t + alpha) , cos (omega t + alpha) .

int_0^(2 pi // omega) s e n (omega t + alpha) d t = - (1)/(omega) c o s (omega t + alpha) |[[2,pi,//,omega],[0]])

- (1)/(omega) c o s ((omega 2 pi)/(omega) + alpha) - (- (1)/(omega) c o s (0 + alpha))

A gente sabe que cos (2 pi) = c o s ( 0 ) , então:

- (1)/(omega) c o s (alpha) + (1)/(omega) c o s (alpha) = 0

Assim como para f (t) = cos (omega t + alpha) .

int_0^(2 pi // omega) c o s (omega t + alpha) d t = (1)/(omega) s e n (omega t + alpha) |[[2,pi,//,omega],[0]])

(1)/(omega) s e n ((omega 2 pi)/(omega) + alpha) - (1)/(omega) s e n (0 + alpha)

A gente sabe que sen (2 pi) = s e n ( 0 ) , então:

(1)/(omega) s e n (2 pi + alpha) - (1)/(omega) s e n (alpha) = 0

Passo 2

Função 2) f (t) = s e n (n omega t + alpha) , cos (n omega t + alpha) .

int_0^(2 pi // omega) s e n (n omega t + alpha) d t = - (1)/(n omega) c o s (n omega t + alpha) |[[2,pi,//,omega],[0]])

- (1)/(n omega) c o s ((n omega 2 pi)/(omega) + alpha) - (- (1)/(n omega) c o s (0 + alpha))

A gente sabe que cos (2 pi) = c o s ( 0 ) e como n é um número inteiro, o primeiro termo dentro do c o s vai ser sempre múltiplo de 2 pi , então:

- (1)/(n omega) c o s (n 2 pi + alpha) + (1)/(n omega) c o s (alpha) = 0

Assim como para f (t) = cos (n omega t + alpha) .

int_0^(2 pi // omega) c o s (n omega t + alpha) d t = (1)/(n omega) s e n (n omega t + alpha) |[[2,pi,//,omega],[0]])

(1)/(n omega) s e n ((omega n 2 pi)/(omega) + alpha) - (1)/(n omega) s e n (0 + alpha)

A gente sabe que sen (2 pi) = s e n ( 0 ) , então:

(1)/(n omega) s e n (n 2 pi + alpha) - (1)/(n omega) s e n (alpha) = 0

Passo 3

Função 3) f (t) = s e n^2 (omega t + alpha) , c o s ² (omega t + alpha) .

int_0^((2 pi)/(omega)) s e n^2 (omega t + alpha) d t = (t)/(2) + (alpha)/(2 omega) - (1)/(4 omega) s e n (2 (omega t + alpha)) |[[2,pi,//,omega],[0]])

((2 pi // omega)/(2) + (alpha)/(2 omega) - (1)/(4 omega) s e n (2 (omega 2 pi // omega + alpha))) - (0 + (alpha)/(2 omega) - (1)/(4 omega) s e n (2 (0 + alpha)))

((pi)/(omega) + (alpha)/(2 omega) - (1)/(4 omega) s e n (4 pi + 2 alpha)) - ((alpha)/(2 omega) - (1)/(4 omega) s e n (2 alpha))

Cortando os termos iguais...

((pi)/(omega) + (alpha)/(2 omega) - (1)/(4 omega) s e n (4 pi + 2 alpha)) - ((alpha)/(2 omega) - (1)/(4 omega) s e n (2 alpha)) = (pi)/(omega)

Vimos nos itens anteriores que o resultado para s e n e c o s , são iguais.

Passo 4

Função 4) f (t) = s e n (m omega t + alpha) c o s ( n omega t + alpha ) .

int_0^((2 pi)/(omega)) s e n (m omega t + alpha) cos (n omega t + alpha) d t = (1)/(2) ((cos (t (n omega - m omega)))/(n omega - m omega) - cos (t (n omega + m omega) + 2 alpha)/(n omega + m omega)) |[[2,pi,//,omega],[0]])

((1)/(2) ((cos (2 pi // omega (n omega - m omega)))/(n omega - m omega) - cos (2 pi // omega (n omega + m omega) + 2 alpha)/(n omega + m omega))) - ((1)/(2) ((cos (0))/(n omega - m omega) - (c o s ( 0 + 2 alpha ))/(n omega + m omega)))

((1)/(2) ((cos (2 pi n - 2 pi m))/(n omega - m omega) - (c o s ( 2 pi n + 2 pi m + 2 alpha ))/(n omega + m omega))) - ((1)/(2) ((cos (0))/(n omega - m omega) - (c o s ( 0 + 2 alpha ))/(n omega + m omega)))

Como 2 pi r a d = 0 r a d , podemos substituir um no lugar do outro.

((1)/(2) ((cos (0))/(n omega - m omega) - (c o s ( 0 + 2 alpha ))/(n omega + m omega))) - ((1)/(2) ((cos (0))/(n omega - m omega) - (c o s ( 0 + 2 alpha ))/(n omega + m omega)))

Agora podemos ver a simetria entre os termos.

((1)/(2) ((cos (0))/(n omega - m omega) - (c o s ( 0 + 2 alpha ))/(n omega + m omega))) - ((1)/(2) ((cos (0))/(n omega - m omega) - (cos (0 + 2 alpha))/(n omega + m omega))) = 0

Passo 5

Função 5) f (t) = cos (m omega t + alpha) cos (n omega t + beta) .

int_0^((2 pi)/(omega)) cos (m omega t + alpha) cos (n omega t + beta) d t = (((s e n (alpha - beta + t omega (m - n))))/(m - n) + ((s e n (alpha + beta + t omega (m + n))))/(m + n))/(2 omega) |[[2,pi,//,omega],[0]])

((((s e n (alpha - beta + omega 2 pi // omega (m - n))))/(m - n) + ((s e n (alpha + beta + omega 2 pi // omega (m + n))))/(m + n))/(2 omega)) - ((((s e n (alpha - beta + 0)))/(m - n) + ((s e n (alpha + beta + 0)))/(m + n))/(2 omega)) = ((((s e n (pi (m - n)) cos (alpha - beta + pi (m - n))))/(m - n) + ((s e n (pi (m + n)) cos (alpha + beta + pi (m + n))))/(m + n))/(omega))

Portanto, se m = n

((0 + 0)/(omega)) = 0

Se m != n

((((s e n (pi (m - n)) cos (alpha - beta + pi (m - n))))/(m - n) + ((s e n (pi (m + n)) cos (alpha + beta + pi (m + n))))/(m + n))/(omega))

Conseguiu entender certinho? Bora pra mais uma!

Resposta

int_0^(2 pi // omega) s e n (omega t + alpha) d t , int_0^(2 pi // omega) c o s (omega t + alpha) d t = 0

int_0^(2 pi // omega) s e n (n omega t + alpha) d t , int_0^(2 pi // omega) c o s (n omega t + alpha) d t = 0

int_0^((2 pi)/(omega)) s e n^2 (omega t + alpha) d t , int_0^((2 pi)/(omega)) c o s ² (omega t + alpha) d t = pi // omega

int_0^((2 pi)/(omega)) s e n (m omega t + alpha) cos (n omega t + alpha) d t = 0

int_0^((2 pi)/(omega)) cos (m omega t + alpha) cos (n omega t + beta) d t = {[[0,,,,s,e,,m,=,n],[a,,f,u,n,ç,ã,o,,d,e,s,c,r,i,t,a,,n,o,,p,a,s,s,o,,a,,p,a,s,s,o,,,,s,e,,m,!=,n]])

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