Equação de Laplace no Retângulo
Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado com condições de Neumann:
Onde é uma função infinitamente diferenciável no intervalo
- Determine todas as soluções não triviais de na forma de
- Para que o problema tenha solução é necessário que a integral
Tenha um valor específico. Supondo que existe uma solução do problema, use o formato da solução obtida pelo método de separação de variáveis para descobrir o valor de .
Passo 1
a)
A primeira coisa que temos que fazer é achar a solução do problema
Para isso vamos usar o método da separação de variáveis como ele sugeriu. Então
Substituindo na EDP temos
Agora vamos passar tudo com para um lado e o que tem no outro
Essa igualdade vale para todo e para todo , assim precisa ser uma constante. Podemos separar isso em duas equações
Agora vamos ver as condições do problema,
Então temos
Passo 2
Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser
Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.
Isso nos diz que temos a seguinte equação característica
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim temos
Isso nos dá
Substituindo na segunda equação
E
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim temos
E a nossa solução vai ser
Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim vamos ter
E
Assim vamos ter, pela primeira equação, como
Assim temos
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Como achamos dois casos, vamos ter dois tipos de solução
Passo 3
Tendo os valores de , resolver a outra EDO
Beleza, agora temos que resolver o problema em , temos:
A equação característica dessa EDO é a seguinte:
Temos dois casos para , vamos começar fazendo
Assim
E a solução vai ser
A condição dele vai ser
Derivando vamos ter
Assim
E a nossa solução vai ser
Passo 4
Agora vamos para .
Assim as soluções são do tipo
Com
Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:
Onde usualmente pegamos como a raiz positiva.
Então, as soluções da EDO em são:
Aplicando a condição , precisamos primeiro achar a sua derivada
Assim vamos ter
Assim
Assim temos
Podemos resumir as soluções de
Passo 5
Vamos juntar as soluções de e para termos as soluções de , vamos juntar todas as constantes e chamar de ou , assim vamos ter
Passo 6
b)
Vamos escrever a solução do nosso problema como a combinação linear das , temos que
Vamos usar a última condição que ele deu para ver o que temos. Assim vamos ter
Calculando a derivada em de
Assim temos
Opa achamos a nossa função , ele quer a integral de de a então vamos fazer isso, integrando em de à .
Podemos dar uma arrumada
Resolvendo aquela integral, temos
Lembrando que, para inteiro
Assim
Assim, como essa integral ele chamou de , então
Resposta
a)
b)