1. A - Encontre a solução u x ,y da equação de Laplace no retângulo 0xa , 0yb , que satisfaz as condições de contorno u 0 ,y = 0 , u a ,y = 0 , 0yb , u x , 0 = 0 , u x ,b = g x , 0 ≤ x ≤ a . B. Encontre a solução se g x = x ,0 ≤ x ≤ a / 2 , a - x , a 2 ≤ x ≤ a C. Para a = 3 e b = 1 , faça o gráfico de u em função de x para diversos valores de y e faça também, o gráfico de u em função de y para diversos valores de x .D. Faça o gráfico tridimensional de u em função de x e de y . Desenhe, também, diversas curvas de níveis de u x ,y no plano x y .

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 1c

1. A - Encontre a solução da equação de Laplace no retângulo , , que satisfaz as condições de contorno

B. Encontre a solução se

C. Para e , faça o gráfico de em função de para diversos valores de e faça também, o gráfico de em função de para diversos valores de .

D. Faça o gráfico tridimensional de em função de e de . Desenhe, também, diversas curvas de níveis de no plano .

Passo 1

Na letra A e na letra B encontramos a solução da nossa Equação de Laplace:

Onde

Aqui devemos substituir o e o por :

Onde...

Vamos começar aqui desenhando o gráfico de em função de para diversos valores de . Usando o Excel, podemos desenhar esse gráfico, variando de em até chegar e considerando variando de até (Não há muita necessidade de muito grande, pois vimos no capítulo que a equação de Laplace converge rapidamente )

Para o gráfico de em relação a , vamos considerar agora o variando de em até chegar a :

Resposta

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Verifique que a equação diferencial x y ' ' + 1 + 2 n y ' + x y = 0 ,x0 Possui a solução particular y = x - n J n ( x )

Nos problemas 13-18, use os resultados dos problemas 10, 11 e 12 para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada em ( 0 , ∞ ) y ' ' + y = 0

Use a mudança de variável y = x - 1 2 v ( x ) para encontrar a solução geral para a equação x 2 y ' ' + 2 x y ' + λ 2 x 2 y = 0 ,x0

Verifique que a equação diferencial x y ' ' + 1 - 2 n y ' + x y = 0 ,x0 Possui a solução particular y = x n J n ( x )

Nos problemas 13-18, use os resultados dos Problemas 10,11 e 12 para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada em 0 ,∞ . x y ' ' + 3 y ' + x y = 0