Encontre uma solução da equação de Laplace no interior do círculo , que satisfaça a condição de contorno sobre o círculo:
Passo 1
Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:
Fazendo a separação de variáveis:
Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:
Passo 2
Agrupando termos:
E isolando:
Igualando ambas as expressões a uma constante arbitrária:
Passo 3
Agora vamos avaliar quais faixas de valores de são possíveis para a solução. Estudando a equação em , tentamos :
Entretanto, como deve ser -periódica, essa solução só funciona para . Portanto temos:
Passo 4
Testando , fazemos:
Supondo por simplicidade, de forma que . Seguindo:
Que tem equação característica:
Que resulta na solução:
Como essa solução é -periódica para todo , está valendo.
Passo 5
Por fim, testamos . Fazendo:
Plugando na equação:
Que tem equação característica:
Resultando na solução:
Esta solução não é -periódica para quaisquer valores de , portanto concluímos que:
Passo 6
Como para todo a solução trigonométrica funciona, fazendo (por elegância), temos então a autofunção de :
E a solução geral seria:
Substituindo os valores válidos de na equação em , temos para :
Arrumando:
Como buscamos uma solução para todo , a solução não interessa. Segue:
Passo 7
Arrumando mais para podermos integrar:
Integrando ambos os lados:
Pra quem lembra dos macetes de Cálculo 1:
Caso você não tenha sacado, pode resolver de outros jeitos.
Passo 8
Integrando novamente:
Agora analisando a função encontrada, temos que ela não é limitada na região que estamos estudando, pois estamos no interior do círculo , e temos:
Portanto nos resta concluir que:
A solução fica:
Passo 9
Testando a outra faixa possível , fazemos , :
Que é a famosa equação de Euler. Fazendo a solução genérica:
Plugamos:
Como para todos valores de :
As soluções então são:
Passo 10
Como estamos no interior do círculo , precisamos que a função não exploda para infinito em nenhum ponto desta região, logo como:
Concluímos que , portanto temos a autofunção:
Plugando na autofunção geral:
Sem esquecer que temos também a solução constante:
A solução geral portanto fica:
Passo 11
Precisamos agora determinar os coeficientes e . Utilizando a última condição que sobrou do enunciado:
Basta derivar com respeito à e depois fazer e temos:
Como à esquerda temos uma série de Fourier da função , os coeficientes podem ser encontrados pelas fórmulas:
Como a função é -periódica, temos que . Descobrimos os coeficientes: