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Exercícios Resolvidos de Equação de Laplace no Disco

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Exercício 312

Enunciado

Questão 3: Encontre todas as soluções u da forma u x ,   y = X x Y y do problema

u x + u y = 2 x 2 + y 2 u ,           x ,   y ∈ R × R .

Passo 1

Pois bem, vamos começar aplicando o tipo de resolução que ele quer:

u = X x Y y

Mas antes de igualar, precisamos calcular as derivadas:

u x = X ' x Y y

u y = X x Y ' y

Agora é só substituir mesmo:

u x + u y = 2 x 2 + y 2 u   →

X ' x Y y + X x Y ' y = 2 x 2 + y 2 X x Y y   →

Dividindo todo mundo por Y y :

X ' x + X x Y ' y Y y = 2 x 2 + y 2 X x   →

Agora dividindo todos por X x :

X ' x X x + Y ' y Y y = 2 x 2 + 2 y 2   →

Agora é só separar as variáveis:

X ' x X x - 2 x 2 = 2 y 2 - Y ' y Y y   →

Pois bem, para essa igualdade ser verdadeira (igualdade de funções de diferentes variáveis), ela só pode ser igual a uma constante λ :

X ' x X x - 2 x 2 = 2 y 2 - Y ' y Y y = λ   →

Com isso tiramos esse sisteminha de EDO’s aqui para resolvermos:

X ' x X x - 2 x 2 = λ   2 y 2 - Y ' y Y y = λ

Passo 2

Vamos começar então resolvendo essa primeira EDO aqui:

X ' x X x - 2 x 2 = λ         →

Simplificando a notação sabendo que X x = X , X ' x = X ' = d X d x ...

d X d x X = λ + 2 x 2 →

“passando” esse d x para o outro lado...

d X X = λ + 2 x 2 d x   →

E agora integrando de ambos os lados...

∫ d X X = ∫ λ + 2 x 2 d x   →

ln ⁡ X = λ x + 2 x 3 3 + C →

Aplicando a exponencial para tirarmos esse l n ...

e λ x + 2 x 3 3 + C = X   →

X = e C ⋅ e λ x + 2 x 3 3   →

Esse e C é uma constante que vou chamar de A :

X x = A e λ x + 2 x 3 3  

Passo 3

Vamos basicamente repetir as contas para essa outra EDO aqui que encontramos lá nopasso 1:

2 y 2 - Y ' y Y y = λ     →

- Y ' y Y y = λ - 2 y 2     →

Y ' y Y y = - λ + 2 y 2     →

Simplificando notação...

d Y d y Y = - λ + 2 y 2     →

d Y Y = - λ + 2 y 2 d y     →

E integrando...

∫ d Y Y = ∫ - λ + 2 y 2 d y     →

ln ⁡ Y = - λ y + 2 y 3 3 + d     →

Novamente podemos utilizar o mesmo raciocínio para o e d ...

e - λ y + 2 y 3 3 + d     = Y →

Y y = e d ⋅ e - λ y + 2 y 3 3     →

Y y = B e - λ y + 2 y 3 3    

Passo 4

A solução é:

u = X x Y y   →

u = A e λ x + 2 x 3 3 ⋅ B e - λ y + 2 y 3 3         →

Ora, A ⋅ B é uma constante também desconhecida que estou chamando de C , logo onde C é um número real e lambda também...

u = C e λ x + 2 x 3 3 ⋅ e - λ y + 2 y 3 3    

Resposta

u = C e λ x + 2 x 3 3 ⋅ e - λ y + 2 y 3 3    

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