Encontre a solução da equação de Laplace na região semicircular , , que satisfaz as condições de contorno:
Suponha que está bem definida e limitada na região dada.
Passo 1
Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:
Fazendo a separação de variáveis:
Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:
Passo 2
Agrupando termos:
E isolando:
Igualando ambas as expressões a uma constante arbitrária:
Passo 3
E separando também as condições iniciais:
Como a solução é trivial, nós a descartamos. Portanto segue que:
Juntando estes valores com a equação em obtemos:
Passo 4
Para resolver a equação em precisamos considerar as possíveis faixas de valores de . Testando:
Substituindo os valores das condições:
Portanto temos a solução trivial:
Passo 5
Tentando , fazemos:
Para garantir que lambda seja positivo. Além disso, vamos substituir uma solução da forma:
E achar o . Plugando na EDO:
Passo 6
Ou seja, como a equação característica tem raízes complexas, temos que as soluções são da forma:
Naturalmente vamos utilizar a forma da direita por ser mais simples. Substituindo os valores vamos tentar descobrir as constantes:
Show de bola. A função fica:
Agora substituindo a outra:
Passo 7
Agora vejamos, para não cair na solução trivial de novo (), podemos buscar quais resolvem a equação acima. O que equivale à resolver:
Que tem solução:
Portanto, como só nos interessa :
Passo 8
Portanto a nossa solução geral fica:
Testando a gora a última faixa de valores possíveis , fazemos:
Temos que a nossa equação característica fica:
Que resulta em:
Como essa função não é periódica em podemos descartar. Daria no mesmo substituir os valores e chegar na solução trivial:
Resolvendo obtemos . Portanto só existem soluções não triviais para .
Passo 9
Seguindo, podemos voltar à resolver a equação em . Fazendo :
Supomos uma solução da forma;
Substituindo:
Temos:
Pondo em evidência:
Como para todo , temos que:
Ou seja, a solução geral é:
Passo 10
Agora o papo é analisar essa função na região estudada. Como a região é tal que:
Então precisamos garantir que dentro dela a função seja limitada, ou seja, não exploda para infinito. Como temos que:
Concluímos que:
Portanto a solução é:
Plugando na solução mais geral, sabendo que :
Passo 11
Falta nós determinarmos os coeficientes . Sabemos que, pelo enunciado, a informação que ficou sobrando é:
Que significa:
Podemos ver que à esquerda temos uma série de Fourier para a função , portanto os coeficientes são determinados pela fórmula:
Onde é o período da função. Como sabemos que, por estar num semicírculo, ela deve ser -periódica, temos: