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Exercícios Resolvidos de Escoamento em meios porosos

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Exercício 4123

Enunciado

Determine a queda de pressão no reator catalítico de leito fixo sabendo-se que este opera isotermicamente a 700 ℃ e que a pressão na descarga é de 1   a t m .

Dados:

  • Vazão mássica de gás (propriedades do O 2 ): 2 K g h
  • O catalisador forma um leito de 40   c m de diâmetro e 2,0   m de altura, com porosidade 0,44
  • As partículas seguem a distribuição CGS de parâmetros k = 185   μ m e m = 1,8
  • A esfericidade das partículas é 0,75

Passo 1

Primeiro, vou calcular o diâmetro médio de Sauter porque vamos precisar dele para calcular K . Foi dado que:

y = d 185 1,8

Daí:

d = 185 . y 0,56

Lá do tópico de diâmetro médio, sabemos que uma das formas de o calcular é:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d = 1 ∫ 0 1 d y 185 . y 0,56 = 81,4   μ m

Usando o modelo de Kozeny-Carmán para K e adotando o sistema de unidades CGS:

K = Φ d - 2 ε 3 36 β 1 - ε 2 = 0,75   .   81,4 . 10 - 4 2 . 0,44 3 36   .   5   .   1 - 0,44 2 = 5,62 . 10 - 8   c m 2

Usando a correlação de Massarani para C :

C = 0,13 K 0 K 0,37 + 0,10 K 0 K 0,01 0,98 ε - 3 2  

Em que K 0 = 1 . 10 - 6   c m 2 e essa correlação é válida para valores de K entre:

K ϵ 1 . 10 - 9   ,   1 . 10 - 3   c m 2

Daí:

C = 1,6 6

Passo 2

Aplicando a equação do movimento:

ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P + d i v   τ ̿ - M → + ρ g →

Supondo estado estacionário, meio isotrópico e que forças viscosas são desprezíveis face à M :

0 = - d P d z - M → + ρ g →

Repara na física do problema que só tem variação de pressão em z ; numa mesma altura a pressão vai ser constante.

Vamos ter que usar aquele artifício de multiplicar tudo por ρ para aparecer o G :

G = W A = ρ . q

Daí a equação fica:

0 = - ρ d P d z - ρ M - ρ 2 g

Repara que considerei fluxo de massa indo contra a gravidade e já mexi com os sinais.

Como o enunciado NÃO fala que escoamento é lento, usamos Forchheimer:

M = μ K 1 + C K ρ q μ q

Substituindo isso na equação:

0 = - ρ d P d z - μ K G - C G 2 K - ρ 2 g

Guarda isso aí.

Passo 3

Considerando gás ideal:

P V = N R T = m P M - R T

m V = ρ = P . P M - R T

Substituindo isso naquela equação do passo anterior e integrando:

- P M - R T ∫ P   d P = ∫ μ K G   d z + ∫ C G 2 K + ∫ ρ 2 g

Como a temperatura é alta e a pressão NÃO é muito alta, a densidade vai ser bem baixa e por isso vou desprezar esse último termo da direita. Daí sobra:

ρ - G . Δ P L = μ K + C K G

Que é a mesma fórmula que chegamos pra escoamento horizontal.

Bora calcular logo o G :

G = W A

O enunciado deu que W = 2   K g / h . Vou escolher trabalhar no SI então vou ter que passar esse por hora pra por segundo.

G = 2 K g h . 1 h 3600   s π . 0,40 2 4 = 4,42 . 10 - 3 K g m 2 . s

Já o ρ - :

ρ - = P M - R T . P 0 + P L 2

Sabemos que a pressão na descarga é 1   a t m ; no SI, 1,013 . 10 5   P a .

ρ - = 32 . 10 - 3 8,31   .   ( 700 + 273 ) . P 0 + 1,013 . 10 5 2 = 1,98 . 10 - 6 ( P 0 + 1,013 . 10 5 )

Além disso, Δ P = P 0 - P L . Daí P 0 = P L + Δ P

ρ - = 1,98 . 10 - 6 ( Δ P + 2,026 . 10 5 )

Substituindo tudo naquela equação integrada:

1,98 . 10 - 6 . ( Δ P + 2,026 . 10 5 ) 4,42 . 10 - 3 . Δ P 2 = 4,7 . 10 - 5 5,62 . 10 - 12 + 1,6 6 5,62 . 10 - 12 . 4,42 . 10 - 3

Repara que joguei tudo no SI. E o μ eu procurei em tabela de livro.

Essa equação aí em cima cai numa equação do segundo grau e os resultados são:

Δ P = 1,17 . 10 5   P a       o u   Δ P = - a l g o

Escrevemos o Δ P como maior menos menor daí ele é escrito de forma a ser positiva! Daí:

Δ P = 1,17 . 10 5   P a      

Resposta

Δ P = 1,17 . 10 5   P a