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Exercícios Resolvidos de Fatoração PLU

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Exercício 21345

Enunciado

Considere as seguintes matrizes. Encontre a matriz de permutação P tal que P A pode ser fatorada no produto L U , onde L é uma matriz triangular inferior com 1 s em sua diagonal e U é triangular superior.

a A = 1 2 - 1 2 4 0 0 1 - 1

b A = 0 1 1 1 - 2 - 1 1 - 1 1

c A = 1 1 - 1 0 1 1 4 3 2 - 1 2 4 2 - 1 2 3

d A = 0 1 1 2 0 1 1 - 1 1 2 - 1 3 1 1 2 0

Passo 1

A primeira coisa que temos que perceber é que não devemos usar a fatoração P L U em si! Ele apenas quer que façamos o pivoteamento quando for necessário para a fatoração L U ! Vamos lá.

Passo 2

a Realizando a Eliminação de Gauss:

1 2 - 1 2 4 0 0 1 - 1

L 2 ← L 2 - 2 L 1 :

1 2 - 1 0 0 2 0 1 - 1

Repare que agora, para continuarmos com o processo precisamos fazer a troca das linhas.

L 2 ↔ L 3 :

1 2 - 1 0 1 - 1 0 0 2

Pronto. Repare que aí já terminamos o processo da fatoração. Mas ele não está interessado nas matrizes L e U , apenas na P que é dada pela matriz identidade com as linhas 2 e 3 trocadas.

P = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 1 ↔ L 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Passo 3

b Realizando a Eliminação de Gauss:

0 1 1 1 - 2 - 1 1 - 1 1

L 1 ↔ L 2 :

1 - 2 - 1 0 1 1 1 - 1 1

L 3 ← L 3 - L 1 :

1 - 2 - 1 0 1 1 0 1 2

L 3 ← L 3 - L 2 :

1 - 2 - 1 0 1 1 0 0 1

Trocamos apenas as linhas 1 e 2 , então:

P = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 ↔ L 3 0 1 0 1 0 0 0 0 1

Passo 4

c Realizando a Eliminação de Gauss:

1 1 - 1 0 1 1 4 3 2 - 1 2 4 2 - 1 2 3

L 2 ← L 2 - L 1 :

1 1 - 1 0 0 0 5 3 2 - 1 2 4 2 - 1 2 3

L 3 ← L 3 - 2 L 1 :

1 1 - 1 0 0 0 5 3 0 - 3 4 4 2 - 1 2 3

L 4 ← L 4 - 2 L 1 :

1 1 - 1 0 0 0 5 3 0 - 3 4 4 0 - 3 4 3

L 2 ↔ L 3 :

1 1 - 1 0 0 - 3 4 4 0 0 5 3 0 - 3 4 3

L 4 ← L 4 - L 2 :

1 1 - 1 0 0 - 3 4 4 0 0 5 3 0 0 0 - 1

Trocamos apenas as linhas 2 e 3 , então:

P = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 2 ↔ L 3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Passo 5

d Realizando a Eliminação de Gauss:

0 1 1 2 0 1 1 - 1 1 2 - 1 3 1 1 2 0

L 1 ↔ L 3 :

1 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 1 1 2 1 1 2 0

L 4 ← L 4 - L 1 :

1 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 1 1 2 0 - 1 3 - 3

L 3 ← L 3 - L 2 :

1 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 0 0 3 0 - 1 3 - 3

L 4 ← L 4 + L 2 :

1 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 0 0 3 0 0 4 - 4

L 3 ↔ L 4 :

1 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 0 4 - 4 0 0 0 3

Trocamos as linhas 1 e 3 , e em seguida as linhas 3 e 4 , então:

P = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 3 ↔ L 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 → L 1 ↔ L 3 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

Resposta

a   1 0 0 0 0 1 0 1 0

b 0 1 0 1 0 0 0 0 1

c 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

d 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0