Justifique se for verdadeira ou dê um contraexemplo se for falsa a afirmação:

“Dada uma matriz , , sua fatoração , obtida com estratégia de pivoteamento parcial, é tal que todos os elementos da matriz têm módulo menor ou igual a .”

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Essa afirmativa é verdadeira! Mas por quê? Bom, quais são os elementos que compõe a matriz ? De forma geral ela é dada por:

Ou seja, ela é uma matriz triangular inferior cuja diagonal é toda igual a e contém os multiplicadores usados na eliminação de Gauss.

Bom, a única coisa que pode ter módulo maior ou igual a são os multiplicadores certo? E como eles são formados? Assim:

onde é o pivô da linha . Como estamos usando a estratégia de pivoteamento parcial, o pivô de uma linha, se comparado com todos os números abaixo dele na coluna, será sempre maior em módulo, e isso é garantido pelo pivoteamento.

Sendo assim, a divisão terá sempre seu módulo menor ou igual a . Logo, a afirmativa é verdadeira.