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Exercícios Resolvidos de Fatoração PLU

Ver Teoria
Exercício 51234

Enunciado

Resolva o sistema linear abaixo através da fatoração L U com estratégia de pivoteamento parcial:

1 x 1 - 2 x 2 + 7 x 3 + 2 x 4 = - 18 2 x 1 + 5 x 2 - 3 x 3 + 1 x 4 = 31 9 x 1 - 6 x 2 + 4 x 3 + 1 x 4 = 35 4 x 1 - 3 x 2 - 6 x 3 + 7 x 4 = 15

Passo 1

Primeiro precisamos saber quem é A :

A = 1 - 2 7 2 2 5 - 3 1 9 - 6 4 1 4 - 3 - 6 7

Aplicando a eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:

L 1 ↔ L 3 :

9 - 6 4 1 2 5 - 3 1 1 - 2 7 2 4 - 3 - 6 7

L 2 ← L 2 - 0.222 L 1 m 21 = 0.222 :

9 - 6 4 1 0.222 6.333 - 3.889 0.778 1 - 2 7 2 4 - 3 - 6 7

L 3 ← L 3 - 0.111 L 1 m 31 = 0.111 :

9 - 6 4 1 0.222 6.333 - 3.889 0.778 0.111 - 1.333 6.556 1.889 4 - 3 - 6 7

L 4 ← L 4 - 0.444 L 1 m 41 = 0.444 :

9 - 6 4 1 0.222 6.333 - 3.889 0.778 0.111 - 1.333 6.556 1.889 0.444 - 0.333 - 7.778 6.556

L 3 ← L 3 - - 0.211 L 2 m 32 = - 0.211 :

9 - 6 4 1 0.222 6.333 - 3.889 0.778 0.111 - 0.211 5.737 2.053 0.444 - 0.333 - 7.778 6.556

L 4 ← L 4 - - 0.053 L 2 m 42 = - 0.053 :

9 - 6 4 1 0.222 6.333 - 3.889 0.778 0.111 - 0.211 5.737 2.053 0.444 - 0.053 - 7.982 6.596

L 3 ↔ L 4 :

9 - 6 4 1 0.222 6.333 - 3.889 0.778 0 . 444 - 0 . 053 - 7.982 6.596 0 . 111 - 0.211 5.737 2.053

L 4 ← L 4 - - 0.719 L 3 m 43 = - 0.719 :

9 - 6 4 1 0.222 6.333 - 3.889 0.778 0.444 - 0 . 053 - 7.982 6.596 0 . 111 - 0.211 - 0.719 6.793

A P - 1 vai ficar:

P - 1 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 1 ↔ L 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 → L 3 ↔ L 4 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

Então ficamos com:

P - 1 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ; L = 1 0 0 0 0.222 1 0 0 0.444 - 0.053 1 0 0.111 - 0.211 - 0.719 1 ;  

U = 9 - 6 4 1 0 6.333 - 3.889 0.778 0 0 - 7.982 6.596 0 0 0 6.793

Passo 2

Agora é só resolver os sistemas!

Resolvendo L y = P - 1 b :

1 0 0 0 0.222 1 0 0 0.444 - 0.053 1 0 0.111 - 0.211 - 0.719 1 y 1 y 2 y 3 y 4 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 - 18 31 35 15

1 0 0 0 0.222 1 0 0 0.444 - 0.053 1 0 0.111 - 0.211 - 0.719 1 y 1 y 2 y 3 y 4 = 35 31 15 - 18

y 1 = 35

7.778 + y 2 = 31

y 2 = 23.222

15.556 - 1.231 + y 3 = 15

y 3 = 0.675

3.889 - 4.9 - 0.485 + y 4 = - 18

y 4 = - 16.504

Resolvendo U x = y :

9 - 6 4 1 0 6.333 - 3.889 0.778 0 0 - 7.982 6.596 0 0 0 6.793 x 1 x 2 x 3 x 4 = 35 23.222 0.675 - 16.504

x 4 = - 2.429

- 7.982 x 3 - 16.022 = 0.675

x 3 = - 2.092

6.333 x 2 + 8.136 - 1.9 = 23.222

x 2 = 2.68

9 x 1 - 16.08 - 8.368 - 2.429 = 35

x 1 = 6.876

Então a solução é x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 6.876,2 . 68 , - 2.092 , - 2.429

Resposta

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 6.876,2.68 , - 2.092 , - 2.429