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Exercícios Resolvidos de Fatoração PLU

Ver Teoria
Exercício 41235

Enunciado

Obtenha a fatoração na forma A = P L U para as seguintes matrizes.

a A = 0 2 3 1 1 - 1 0 - 1 1

b A = 1 2 - 1 1 2 3 2 - 1 4

c A = 1 - 2 3 0 3 - 6 9 3 2 1 4 1 1 - 2 2 - 2

d A = 1 - 2 3 0 1 - 2 3 1 1 - 2 2 - 2 2 1 3 1

Passo 1

a Realizando a Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:

0 2 3 1 1 - 1 0 - 1 1

L 1 ↔ L 2 :

1 1 - 1 0 2 3 0 - 1 1

L 3 ← L 3 - - 1 2 L 1 m 32 = - 1 2 :

1 1 - 1 0 2 3 0 - 1 2 2.5

Então ficamos com:

P = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ; L = 1 0 0 0 1 0 0 - 1 2 1 ; U = 1 1 - 1 0 2 3 0 0 2.5

Passo 2

b Realizando a Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:

1 2 - 1 1 2 3 2 - 1 4

L 1 ↔ L 3 :

2 - 1 4 1 2 3 1 2 - 1

L 2 ← L 2 - 1 2 L 1 m 21 = 1 2 :

2 - 1 4 1 2 2.5 1 1 2 - 1

L 3 ← L 3 - 1 2 L 1 m 31 = 1 2 :

2 - 1 4 1 2 2.5 1 1 2 2.5 - 3

L 3 ← L 3 - L 2 m 32 = 1 :

2 - 1 4 1 2 2.5 1 1 2 1 - 4

Então ficamos com:

P = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ; L = 1 0 0 0.5 1 0 0.5 1 1 ; U = 2 - 1 4 0 2.5 1 0 0 - 4

Passo 3

c Realizando a Eliminação de Gauss:

1 - 2 3 0 3 - 6 9 3 2 1 4 1 1 - 2 2 - 2

L 1 ↔ L 2 :

3 - 6 9 3 1 - 2 3 0 2 1 4 1 1 - 2 2 - 2

L 2 ← L 2 - 1 3 L 1 m 21 = 1 3 :

3 - 6 9 3 1 3 0 0 - 1 2 1 4 1 1 - 2 2 - 2

L 3 ← L 3 - 2 3 L 1 m 31 = 2 3 :

3 - 6 9 3 1 3 0 0 - 1 2 3 5 - 2 - 1 1 - 2 2 - 2

L 4 ← L 4 - 1 3 L 1 m 41 = 1 3 :

3 - 6 9 3 1 3 0 0 - 1 2 3 5 - 2 - 1 1 3 0 - 1 - 3

L 2 ↔ L 3 :

3 - 6 9 3 2 3 5 - 2 - 1 1 3 0 0 - 1 1 3 0 - 1 - 3

Reparou o que aconteceu?? Os multiplicadores trocaram de lugar junto com as linhas! É nesses casos que armazenar os multiplicadores junto da matriz que estamos escalonando é útil pois evita problemas no final!

L 3 ↔ L 4 :

3 - 6 9 3 2 3 5 - 2 - 1 1 3 0 - 1 - 3 1 3 0 0 - 1

Eita, várias trocas de linha né? Vamos ver com calma como ficou nossa matriz P . Lembrando que temos que fazer as trocas de trás pra frente:

P = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 3 ↔ L 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 → L 2 ↔ L 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 → L 1 ↔ L 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Então ficamos com:

P = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ; L = 1 0 0 0 2 3 1 0 0 1 3 0 1 0 1 3 0 0 1 ; U = 3 - 6 9 3 0 5 - 2 - 1 0 0 - 1 - 3 0 0 0 - 1

Passo 4

d Realizando a Eliminação de Gauss:

1 - 2 3 0 1 - 2 3 1 1 - 2 2 - 2 2 1 3 1

L 1 ↔ L 4 :

2 1 3 1 1 - 2 3 1 1 - 2 2 - 2 1 - 2 3 0

L 2 ← L 2 - 1 2 L 1   m 21 = 1 2 :

2 1 3 1 0.5 - 2.5 1.5 0.5 1 - 2 2 - 2 1 - 2 3 0

L 3 ← L 3 - 1 2 L 2 m 31 = 1 2 :

2 1 3 1 0.5 - 2.5 1.5 0.5 0.5 - 2 . 5 0.5 - 2.5 1 - 2 3 0

L 4 ← L 4 - 1 2 L 2 m 41 = 1 2 :

2 1 3 1 0.5 - 2.5 1.5 0.5 0.5 - 2.5 0.5 - 2.5 0.5 - 2.5 1.5 - 0.5

L 3 ← L 3 - L 2 m 32 = 1 :

2 1 3 1 0.5 - 2.5 1.5 0.5 0.5 1 - 1 - 3 0.5 - 2.5 1.5 - 0.5

L 4 ← L 4 - L 2 m 42 = 1 :

2 1 3 1 0.5 - 2.5 1.5 0.5 0.5 1 - 1 - 3 0.5 1 0 - 1

Então ficamos com:

P = 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ; L = 1 0 0 0 0.5 1 0 0 0.5 1 1 0 0.5 1 0 1 ; U = 2 1 3 1 0 - 2.5 1.5 0.5 0 0 - 1 - 3 0 0 0 - 1

Resposta

a   A = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 - 1 2 1 1 1 - 1 0 2 3 0 0 2.5

b A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0.5 1 0 0.5 1 1 2 - 1 4 0 2.5 1 0 0 - 4

c A = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 2 3 1 0 0 1 3 0 1 0 1 3 0 0 1 3 - 6 9 3 0 5 - 2 - 1 0 0 - 1 - 3 0 0 0 - 1

d A = 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0.5 1 0 0 0.5 1 1 0 0.5 1 0 1 2 1 3 1 0 - 2.5 1.5 0.5 0 0 - 1 - 3 0 0 0 - 1