Condução em Sistemas Radiais

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Teoria

Introdução

Fala, galerinha! Tudo certo? Prontos pra desbravar novos mares? Então, bora lá!

Nesse tópico, a gente vai ver basicamente como tratar da condução em geometrias com curvas.

Ahaha É isso mesmo, vamos ver aqui basicamente dois tipos de parede: as cilíndricas e as esféricas.

A gente já estudou a condução em paredes planas, então vocês vão tirar de letra isso daqui, é bem parecido com o que já vimos: a gente vai trabalhar com circuitos térmicos, determinar taxas e temperaturas. Vem comigo então!

Equação do Calor para Sistemas Cilíndricos

No tópico de balanço de energia, a gente já viu a Equação do Calor para coordenadas cartesianas ( x , y e z ). Mas a gente também pode fazer o mesmo esquema num corpo cilíndrico e obter a Equação do Calor em coordenadas cilíndricas ( r , θ e z ).

Fazendo o balanço de energia num elemento infinitesimal, como o mostrado aqui embaixo, a gente vai obter a Equação do Calor, dada por:

1 r . ∂ ∂ r k . r . ∂ T ∂ r + 1 r 2 . ∂ ∂ ϕ k . ∂ T ∂ ϕ + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Em boa parte dos problemas, nós tratamos de situações com as seguintes características:

  • Condução unidimensional em r : não há variação em ϕ ou z .
  • Estado estacionário: não há variação ao longo do tempo.
  • Sem geração de energia: o termo q ˙ é nulo.
  • Propriedades constantes: a condutividade térmica k pode sair da derivada.

Dessa forma, podemos simplificar a Equação do Calor para:

k r . d d r r . d T d r = 0

Bora resolver juntos essa equação, sigam-me os bons:

k r . d d r r . d T d r = 0 → d d r r . d T d r = 0

Integrando a equação em termos do raio r , a gente fica com:

∫ d d r r . d T d r d r = 0

r . d T d r = C 1

Reorganizando a equação:

d T d r = C 1 r → d T = C 1 r d r

Integrando novamente a equação em termos do raio r :

∫ d T = ∫ C 1 r   d r

T r = C 1 . ln ⁡ r + C 2

Como a gente tem que determinar as duas constantes, a gente precisa de duas condições de contorno. No caso mais simples de sabermos as temperaturas das superfícies, ficamos com:

T r 1 = T s , 1                             e                         T r 2 = T s , 2

Utilizando essas condições para encontrar C 1 e C 2 , chegaremos a essa expressão final da temperatura:

    T r = T s , 1 - T s , 2 ln ⁡ r 1 / r 2 . ln ⁡ r r 2 + T s , 2

Pronto! Essa é a distribuição de temperatura em uma casca cilíndrica!

Resistência Térmica para Sistemas Cilíndricos

Pela definição de Resistência Térmica, temos que:

R t = Δ T q

Para encontrar a taxa transferência de calor por condução ao longo do raio, basta a gente usar a equação de Fourier:

q ' ' r = - k . d T d r

Derivando a expressão de T r que achamos, a gente fica com:

q ' ' r = T s , 1 - T s , 2 ln ⁡ r 2 / r 1 . k r

Para achar a taxa, basta a gente multiplicar pela área de troca térmica A ( r ) :

q r = q ' ' r . A r

q r = T s , 1 - T s , 2 ln ⁡ r 2 / r 1 . k r . ( 2 π . r . L )

Logo:

q r = 2 π . L . k ln ⁡ r 2 / r 1 . T s , 1 - T s , 2

Assim, a gente conclui que a resistência de condução para superfícies cilíndricas é dada por:

R t , c o n d = ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k

Importante: Note que a taxa não depende do raio, mas o fluxo depende! Então, a gente só pode usar circuito térmico tratando de taxa e nunca tratando de fluxo!!

Show! Agora vamos usar o mesmo princípio para sistemas esféricos!

Equação do Calor para Sistemas Esféricos

Agora você já sacou como funciona! Em coordenadas esféricas ( r , ϕ e θ ), a equação fica a seguinte:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ . ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Talvez a sua reação ao ver essa equação tenha sido essa (pelo menos a minha foi):

Sim, eu sei, ela assusta demais! Mas, fazendo as mesmas considerações que fizemos para a equação em coordenadas esféricas e resolvendo a Equação do Calor para encontrar a temperatura, a gente fica com:

    T r = - C 1 r + C 2

Vamos tratar aqui de uma casca de raio interno r 1 e raio externo r 2 .

Utilizando as mesmas condições de contorno de temperaturas conhecidas na superfície:

    T r = T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2 . 1 r - 1 r 1 + T s , 1

Resistência Térmica para Sistemas Esféricos

O fluxo de calor, pela equação de Fourier ao longo de r será:

q ' ' r = T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2 . k r 2  

Multiplicando pela área de troca térmica A ( r ) , a gente fica com:

q r = T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2 . k r 2   . ( 4 π . r 2 )

Logo:

q r = 4 π . k 1 / r 1 - 1 / r 2 . T s , 1 - T s , 2

Assim, a gente conclui que a resistência de condução para superfícies esféricas é dada por:

R t , c o n d = 1 4 π . k   1 r 1 - 1 r 2

Se liga! Não se preocupe se você se assustou um pouco com as equações, o quadro abaixo resume o que há de mais importante aqui. Nos problemas, geralmente a boa é lembrar da Equação do Calor e da Resistência Térmica de Condução. O resto a gente é brabo e consegue descobrir, se necessário.

Agora que você já está equipado com todo esse arsenal de expressões pra calcular resistências térmicas e taxas, você já pode ir à guerra! ^^

Resistência Térmica para Sistemas Cilíndricos

Equação do Calor para Sistemas Esféricos

Resistência Térmica para Sistemas Esféricos

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma parede cilíndrica é composta de dois materiais de condutividades térmicas k A e k B que são separados por um aquecedor elétrico delgado, para o qual as resistências de contato na interface são desprezíveis.

O líquido bombeado através do tubo encontra-se a uma temperatura T ∞ , i e fornece um coeficiente de convecção h i na superfície interna da composição. A superfície externa é exposta ao ar ambiente, que está a T ∞ , o e fornece um coeficiente de convecção h o . Em condições de regime estacionário, um fluxo de calor uniforme q h ' ' é dissipado pelo aquecedor.

a Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.

b Obtenha uma expressão que pode ser utilizada para determinar a temperatura do aquecedor ( T h ).

c Obtenha uma expressão para a razão entre os fluxos de calor para os fluidos interno ( q i ' ) e externo ( q o ' ). Como as variáveis do problema podem ser ajustadas para minimizar essa razão?

Passo 1

a Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.

Como a gente já tá acostumado, bora fazer o circuito térmico. Para os sistemas radiais (cilindros e esferas), a gente só precisa fazer o circuito do centro pra fora, porque é simétrico pro outro lado!

Identificando as temperaturas em cada superfície (nós do circuito) e desenhando as resistências entre elas, a gente fica com:

Como sabemos, as expressões de resistência térmica de convecção são as mesmas no caso de placa plana, cilindros ou esferas, o que muda é o cálculo da área de troca térmica ( A ).

Para o caso acima, teremos:

R c v . i = 1 h i . A i

  R c v . o = 1 h o . A o

Expressando as áreas em termos dos raios, temos que:

R c v . i = 1 h i . 2 π . L . r i

R c v . o = 1 h o . ( 2 π . L . r o )

Mas a gente não conhece o comprimento do cilindro, e agora? Nem precisa, a gente pode simplesmente expressar as resistências relativas ao comprimento do cilindro:

R c v , i ' = 1 h i . 2 π . r i

R c v , o ' = 1 h o . ( 2 π . r o )

“Show! Mas e as resistências de condução?” Ah, essas daí são diferentes do caso da parede plana e também diferem dos casos da esfera. Para corpos cilíndricos, a gente viu que:

R c d = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . L . k

Então, escrevendo as resistências térmicas de condução nas cascas cilíndricas A e B , a gente fica com:

R c d , A = ln ⁡ r 3 / r 2   2 . π . L . k A

R c d , B = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . L . k B

Pela mesma estratégia que fizemos com as resistências de convecção, ficamos com:

R c d , A ' = ln ⁡ r 3 / r 2   2 . π . k A

R c d , B ' = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . k B

Agora a gente já pode desenhar o circuito com as respectivas resistências em termos dos parâmetros relevantes do problema:

Passo 2

b Obtenha uma expressão que pode ser utilizada para determinar a temperatura do aquecedor ( T h ).

Agora a gente precisa calcular a temperatura do aquecedor. Para isso, a gente pode tentar fazer o balanço de energia no ponto referente ao aquecedor!

Pelo circuito a gente pode ver que uma certa energia entra pelo ponto aquecedor ( q h ' ' ) e que ela vai se dissipar por dois caminhos diferentes ( q i ' e q o ' ). Como o enunciado dá os fluxos de saída por unidade de comprimento, para igualar entrada e saída precisamos multiplicar q h ' ' pelo perímetro do cilindro ( 2 π . r 2 ) .

Sendo assim:

q h ' ' . 2 π . r 2 = q i ' + q o '

OBS: Se você achar essa forma muito complicada, você pode fazer o balanço na forma de taxa de calor (e não por fluxo), daí você vai ver que o comprimento vai cancelar em todos os termos da equação!

Continuando com a equação, a gente pode substituir as expressões dos calores:

q h ' ' . 2 π . r 2 = T h - T ∞ , i R c v , i ' + R c d , B ' + T h - T ∞ , o R c d , A ' + R c v , o '

Agora é álgebra, acabou a Transferência de Calor! A gente só tem que isolar a temperatura T h da equação. Então, bora lá!

q h ' ' . 2 π . r 2 = T h - T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T h - T ∞ , o . ( R c v , i ' + R c d , B ' ) R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o '

q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' = ( T h - T ∞ , i ) . R c d , A ' + R c v , o ' + T h - T ∞ , o . ( R c v , i ' + R c d , B ' )

Colocando a temperatura T h em evidência, a gente fica com:

q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , o . R c v , i ' + R c d , B ' = T h . R c d , A ' + R c v , o ' + ( R c v , i ' + R c d , B ' )

E finalmente:

T h = q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , o . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o ' + ( R c v , i ' + R c d , B ' )

Passo 3

c Obtenha uma expressão para a razão entre os fluxos de calor para os fluidos interno ( q i ' ) e externo ( q o ' ). Como as variáveis do problema podem ser ajustadas para minimizar essa razão?

A razão entre os calores ( Q ) é dada por:

Q = q o ' q i '                       →                       Q = q o ' . q i ' - 1

Substituindo as expressões de q o ' e de q o ' , a gente fica com:

Q = T h - T ∞ , o R c d , A ' + R c v , o ' . T h - T ∞ , i R c v , i ' + R c d , B ' - 1

Q = T h - T ∞ , o R c d , A ' + R c v , o ' . R c v , i ' + R c d , B ' T h - T ∞ , i

Q = T h - T ∞ , o T h - T ∞ , i . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o '

Para minimizar essa razão, a gente precisa diminuir os termos do numerador e/ou aumentar aqueles do denominador. De maneira, prática podemos:

  1. Aquecer o fluido que passa pelo interior (aumenta T ∞ , i )
  2. Resfriar o fluido que passa pelo interior (diminui T ∞ , o )
  3. Aumentar a velocidade do fluido no interior (aumenta h i )
  4. Aumentar a espessura da casca cilíndrica A (aumenta R c d , A )
  5. Diminuir a espessura da casca cilíndrica B (diminui R c d , B )

Entre outras modificações quanto aos materiais e os fluidos.

Resposta

( a )

b

T h = q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , o . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o ' + ( R c v , i ' + R c d , B ' )

c

Q = T h - T ∞ , o T h - T ∞ , i . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o '

E as possíveis modificações para diminuir seu valor são listadas abaixo:

  1. Aquecer o fluido que passa pelo interior (aumenta T ∞ , i )
  2. Resfriar o fluido que passa pelo interior (diminui T ∞ , o )
  3. Aumentar a velocidade do fluido no interior (aumenta h i )
  4. Aumentar a espessura da casca cilíndrica A (aumenta R c d , A )
  5. Diminuir a espessura da casca cilíndrica B (diminui R c d , B )

Exercício Resolvido #2

Uma casca esférica composta, com raio interno r 1 = 0,25   m é construída de chumbo ( k A = 35,3   W . m - 1 . K - 1 ) de raio externo r 2 = 0,30   m e aço inoxidável A I S I   302 ( k B = 15,1   W . m - 1 . K - 1 ) de raio externo r 3 = 0,31   m . A cavidade é preenchida com resíduos radioativos que geram calor a uma taxa de q ˙ = 5 . 10 5   W . m - 3 . Propõe-se que o recipiente seja submerso em águas oceânicas que estão a uma temperatura T ∞ = 10 o C e fornecem um coeficiente de convecção uniforme h = 500   W . m - 2 . K - 1 para a superfície externa do contêiner. Existe algum problema associado a essa proposta?

Admita que a temperatura de fusão dos materiais são: T f ,   c h u m b o = 327,6 o C e T f ,   a ç o = 1410 o C .

Passo 1

Você deve ter se perguntado: “Como assim ‘algum problema associado à proposta’?” Então, muitas vezes em processos de transferência de calor, a gente tá interessado em saber se um sistema “aguenta” a quantidade de calor gerada, ou seja, se alguma peça vai derreter.

Sabendo disso, nosso objetivo nessa questão é calcular as temperaturas de cada superfície e garantir que elas não ultrapassem os pontos de fusão do respectivo material.

Agora que sabemos o que fazer, bora dar uma olhadinha num esquema da situação:

Como não há geração na casca esférica composta em si, a gente pode construir o circuito térmico representativo do sistema:

Em que as resistências de condução em geometrias esféricas têm uma expressão diferente da placa plana e das geometrias cilíndricas:

R c d = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k

Passo 2

Pelo circuito, a gente pode escrever que:

q = T 1 - T ∞ R c d , A + R c d , B + R c v

A gente viu que a fonte calor desse sistema são os resíduos radioativos no interior da cavidade, que geram uma taxa volumétrica de q ˙ = 5 . 10 5   W . m - 3 .

Então, para achar a taxa de calor que flui pela esfera até o ambiente, basta a gente multiplicar pelo volume da cavidade:

q = q ˙ . V                           →                             q = q ˙ . 4 π 3 . r 1 3

Dessa forma:

q = 5 . 10 5   W . m - 3 . 4 π 3 . 0,25   m 3

q = 32725   W

Passo 3

Então, só nos resta calcular as resistências no circuito térmico que fizemos!

Para a condução no chumbo:

R c d , A = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k A

R c d , A = 0,25   m - 1 - 0,30   m - 1 4 π . 35,3   W . m - 1 . K - 1

R c d , A = 1,503 . 10 - 3   K . W - 1

Para a condução no aço inoxidável:

R c d , B = 1 / r 2   - 1 / r 3 4 π . k B

R c d , A = 0,30   m - 1 - 0,31   m - 1 4 π . 15,1   W . m - 1 . K - 1

R c d , A = 5,667 . 10 - 4   K . W - 1

Calculando ainda a resistência de convecção:

R c v = 1 A . h                             →                                 R c v = 1 4 π . r 3 2 . h

R c v = 1 4 π . 0,31   m 2 . 500   W . m - 2 . K - 1

R c v = 1,656 . 10 - 3   K . W - 1

Passo 4

Substituindo na expressão da taxa, teremos:

q = T 1   - T ∞ R c d , A + R c d , B + R c v

32725   W = T 1 - 2 8 3   K 1,503 . 10 - 3   K . W - 1 + 5,667 . 10 - 4   K . W - 1 + 1,656 . 10 - 3   K . W - 1

Isolando a temperatura da superfície T 1 , a gente fica com:

T 1 = 2 8 3   K + 32725   W . ( 3,726 . 10 - 3   K . W - 1 )

T 1 = 4 05   K

Passo 5

Como T 1 é a temperatura na superfície do chumbo e seu valor é menor que o da temperatura de fusão desse material ( 600,6   K ), então o chumbo não vai derreter ali.

Mas e as demais temperaturas ( T 2 e T 3 )? Temos que calculá-las pra saber se os materiais vão derreter? Não! “Mas por quê?”

Note que T 1 é a maior temperatura do sistema, pois ela é a temperatura da superfície mais próxima da região onde a energia é gerada. Então:

T 1 > T 2 > T 3

Se o chumbo não derrete na maior temperatura do sistema ( T 1 ), então ele também não derreterá na superfície mais externa (a temperatura de T 2 ).

E o aço? A temperatura de fusão do aço é de 1410 o C (ou 1683   K ), que é bem maior que T 1 e, consequentemente, também será maior que T 2 e T 3 . Logo, ele também não derreterá!

Resposta

Não há nenhum problema associado ao derretimento das peças utilizadas no sistema.

Nenhuma temperatura das superfícies supera os pontos de fusão do aço e do chumbo!

Exercício Resolvido #3

(Adaptada) Um tubo de aço de paredes finas com 0,20   m de diâmetro é utilizado para transportar vapor saturado a uma pressão de 20   b a r através de um ambiente onde a temperatura do ar é 25 o C e o coeficiente de convecção na superfície externa do tubo é 20   W . m - 2 . K - 1 . A resistência convectiva do lado vapor pode ser desprezível.

a Qual é a perda de calor por unidade de comprimento para o tubo sem isolamento? A emissividade do aço pode ser considerada 0,8 .

b Encontre a equação que descreve a temperatura da superfície externa do isolamento em função dos parâmetros conhecidos (polinômio de quarto grau) se uma camada de isolamento térmico ( k = 0,058   W . m - 1 . K - 1 e ε = 0,8 ) com 50   m m de espessura for aplicada ao redor do tubo.

c Após resolver o polinômio de quarto grau, você achou uma temperatura de T s , o = 305   K . Estime a perda de calor com o isolamento.

Passo 1

a Qual é a perda de calor por unidade de comprimento para o tubo sem isolamento? A emissividade do aço pode ser considerada 0,8 .

Sem o isolamento, a gente tem a situação simples de uma casca cilíndrica envolvida por um grande ambiente e que sofre convecção externa. Esquematizando, fica mais ou menos assim:

Como o enunciado diz que o vapor é saturado, com a pressão que foi dada ( 20   b a r ) podemos achar sua temperatura em uma tabela de propriedades da água saturada, encontrando T s , o = 486 K .

Considerando então que a resistência de convecção interna é desprezível, a gente pode assumir que a temperatura da superfície interna da casca cilíndrica é igual à temperatura do vapor.

E, como a parede do tubo é fina, também desprezamos a resistência por condução, logo a temperatura da superfície externa também equivale a 486 K .

Bora fazer um balanço de energia na superfície do tubo, que é onde a energia é dissipada pro ambiente:

E ˙ e = E ˙ s

q = q c o n v + q r a d

q = h . A . T s , o - T ∞ + ε . σ . A . T s , o 4 - T s u r 4

Em que a perda de calor é dada pela soma dos calores de convecção e radiação. Ou seja, calcular a perda de calor equivale a calcular quanto entra de calor na superfície ( q ).

Bora calcular cada uma das taxas! Para a taxa de convecção:

q c o n v = h . A . T s , o - T ∞

q c o n v = 20 W m 2 . K . π . 0,2   m . L . 486 - 298   K

q c o n v = ( 2362,5 . L )   W

Escrevendo em termos da taxa por unidade de comprimento, a gente fica com:

q c o n v ' = 2362,5   W . m - 1

Para a taxa de radiação:

q r a d = ε . σ . A . T s , o 4 - T s u r 4

q r a d = 0,8 . 5,67 x 10 - 8 . π . 0,2   m . L . 486 4 - 298 4   K 4

Assim como fizemos antes:

q r a d ' = 1365,2   W . m - 1

OBS: Você também pode escrever as taxas em função das resistências, mas, se você lembrar, a expressão da resistência de radiação é bem feiosa. Então, geralmente quando trabalhamos com radiação, é mais fácil usar direto a expressão das taxas.

Dessa maneira, a gente pode já substituir as taxas encontradas:

q ' = 2362,5   W . m - 1 + 1365,2   W . m - 1

q ' = 3727,7   W . m - 1

Passo 2

b Encontre a equação que descreve a temperatura da superfície externa do isolamento em função dos parâmetros conhecidos (polinômio de quarto grau) se uma camada de isolamento térmico ( k = 0,058   W . m - 1 . K - 1 e ε = 0,8 ) com 50   m m de espessura for aplicada ao redor do tubo.

Se aplicarmos uma camada de isolante em volta da casca cilíndrica, estaremos adicionando uma resistência de condução no sistema, como mostrado abaixo:

Como a gente não conhece as temperaturas, precisamos encontrar alguma delas pra poder calcular a taxa!

Ao fazermos o balanço de energia na superfície mais externa (que agora é a superfície externa do isolamento), teremos o seguinte:

E ˙ e = E ˙ s

q c o n d = q c o n v + q r a d

T s , i - T s , o R c o n d = h . A . T s , o - T ∞ + ε . σ . A . T s , o 4 - T s u r 4

Substituindo as expressões para a resistência térmica em paredes cilíndricas ( R c o n d ) e a área de troca térmica ( A )

2 π . L . k . T s , i - T s , o ln ⁡ r 1 / r 2 = h . π . D o . L . T s , o - T ∞ + ε . σ . ( π . D o . L ) . T s , o 4 - T s u r 4

2 . k . T s , i - T s , o ln ⁡ r 1 / r 2 = h . D o . T s , o - T ∞ + ε . σ . D o . T s , o 4 - T s u r 4

Pronto! Note que a equação acima é um polinômio de quarto grau em T s , o e que todos os outros parâmetros dela são conhecidos!

Passo 3

Sabendo que a temperatura da superfície externa do isolamento equivale a T s , o = 305   K , a gente pode calcular a taxa de calor de condução, pois ela representa a mesma quantidade de energia que é perdida pelo tubo por convecção e radiação.

Temos que:

q c o n d = T s , i - T s , o R c o n d

A resistência de condução na parede cilíndrica pode ser calculada por:

R c o n d = ln ⁡ r 1 / r 2 2 π . L . k

Então:

R c o n d = ln ⁡ ( 0,3   m ) / ( 0,2   m ) 2 π . L . 0,058   W . m - 1 . K - 1

R c o n d = 1,11 L   m . K . W - 1

Substituindo na expressão da taxa de calor:

q c o n d = 486 - 305   K 1,11 L   m . K . W - 1

Como não sabemos o comprimento do tubo, a gente pode simplesmente determinar a taxa de calor por unidade de comprimento ( q c o n d ' ):

q c o n d ' = q c o n d L = 211,2   W . m - 1

Logo, a perda de calor também será:

q ' = 211,2   W . m - 1

Resposta

a

  q ' = 3727,7   W . m - 1

b

2 . k . T s , i - T s , o ln ⁡ r 1 / r 2 = h . D o . T s , o - T ∞ + ε . σ . D o . T s , o 4 - T s u r 4

c

q ' = 211,2   W . m - 1

Exercício Resolvido #4

(Adaptada) Um tanque esférico para armazenar oxigênio líquido no ônibus espacial deve ser construído em aço inoxidável ( k = 9,2   W . m - 1 . K - 1 ) com 0,80   m de diâmetro e 5   m m de espessura de parede. O ponto de ebulição e o calor latente de fusão do oxigênio líquido são 90   K e 213   k J / k g respectivamente. O tanque será instalado em um grande compartimento cuja temperatura deve ser mantida a 240   . Projete um sistema de isolamento térmico capaz de manter as perdas de oxigênio por evaporação abaixo de 1   k g / d i a . Admita que a condutividade do isolamento equivale a 1,7 x 10 - 5   W . m - 1 . K - 1 e considere a resistência de convecção desprezível frente às demais resistências térmicas.

Passo 1

Nosso objetivo nessa questão é projetar um sistema de isolamento para uma esfera, isso significa que a gente tem que determinar qual a espessura do isolamento vamos usar pra revestir o tanque esférico.

A situação pode ser esquematizada da seguinte forma:

O sistema de isolamento deve ser tal que a taxa de evaporação do oxigênio líquido seja inferior a 1   k g / d i a . “Mas o que isso tem a ver?”

A gente sabe que dada uma pressão fixa, a gente pode evaporar líquido fornecendo uma certa quantidade de energia, certo?

Então, a gente consegue relacionar a taxa de evaporação com a taxa de calor do sistema, dá uma olhadinha:

Q = m . L

Essa é a equação do calor latente ( Q ), ou seja, a quantidade de energia pra evaporar a substância. Ele é função da quantidade de massa que evapora ( m ) e do calor latente de ebulição da substância em questão ( L ).

Só que aqui a gente tá trabalhando com taxa, então bora dividir os dois lados da equação por ∆ t :

Q ∆ t = m ∆ t . L

Assim a gente fica com a taxa de calor ( q ) e com a taxa mássica de evaporação ( m ˙ ):

q = m ˙ . L

Beleza! Então, se a gente precisa projetar um isolamento pra que a taxa de evaporação seja menor que 1   k g / d i a , é a mesma coisa que projetar o isolamento pra uma taxa de calor menor que:

q = 1 k g d i a 1   d i a 24   h . 1   h 3600   s . 213 k J k g

q = 2,465   J . s - 1 = 2,465   W

Beleza, agora já ficou um pouco melhor! O enunciado passa a ser “Projete um sistema de isolamento térmico para que a taxa de calor seja menor que 2,465   W ”.

Passo 2

Agora, a gente tem que calcular qual a espessura de isolamento que permite a passagem de somente 2,465   W . Bora lá!

A gente pode construir um circuito térmico considerando as paredes de aço ( R c d , A ) e de isolamento ( R c d , B ) mais a resistência de convecção externa ( R c v ):

A gente pode escrever a equação para a taxa da seguinte maneira:

q = T ∞ - T 1 R t o t

Note que, projetar a espessura de isolamento é o mesmo que determinar o valor de r 3 !

Bora encontrar o valor da resistência total primeiro:

R t o t = T ∞ - T 1 q

R t o t = 240 - 90   K 2,465   W

R t o t = 60,85   K . W - 1

Passo 3

Como as resistências estão em série, podemos escrever a resistência total como:

R t o t = R c d , A + R c d , B + R c v

Mas, pelo enunciado, a gente pode desprezar a resistência de convecção, então:

R t o t = R c d , A + R c d , B

Em que as resistências são dadas por:

R c d , A = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k A                 e             R c d , B = 1 / r 2   - 1 / r 3 4 π . k B

Bora calcular a resistência do aço:

R c d , A = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k A

R c d , A = 0,35   m - 1 - 0,40   m - 1 4 π . 9,2   W . m - 1 . K - 1

R c d , A = 2,4 x 10 - 3   K . W - 1

Passo 4

Beleza, então a gente pode escrever que:

R t o t = R c d , A + R c d , B

R c d , B = R t o t - R c d , A

Substituindo o que calculamos:

R c d , B = 60,85   K . W - 1 - 2,4 x 10 - 3   K . W - 1

R c d , B = 60,85   K . W - 1

Viu que a resistência de condução é tão baixinha que não fez nem cócegas na resistência total? Pois é!

Abrindo a expressão da resistência de condução no isolamento, a gente fica com:

R c d , B = 1 / r 2   - 1 / r 3 4 π . k B = 60,85   K . W - 1

Logo:

0,40   m - 1 - r 3 - 1 4 π . 1,7 x 10 - 5   W . m - 1 . K - 1 = 60,85   K . W - 1

r 3 - 1 = 2,487   m - 1

Dessa forma:

r 3 = 0,4021   m

Passo 5

Isso significa que a espessura de isolamento é dada por:

δ = 0,4021   m - 0,40   m

δ = 0,0021   m

Ou seja:

δ = 2,1   m m

Resposta

δ = 2,1   m m .

Exercício Resolvido #5

Uma corrente elétrica de 700   A flui através de um cabo de aço inoxidável de diâmetro 5   m m e resistência elétrica de R e l ' = 6 x 10 - 4   Ω . m - 1 (ou seja, por metro de comprimento de cabo). O cabo encontra-se em um ambiente que está a uma temperatura de 30 o C , e o coeficiente total de transferência de calor, associado à convecção entre o cabo e o ambiente, é de aproximadamente h = 25   W . m - 2 . K - 1 .

a Se o cabo estiver desencapado, qual será a temperatura em sua superfície?

b Se um revestimento delgado for aplicado sobre o cabo, com uma resistência térmica de contato de 0,02   m 2 . K . W - 1 , quais serão as temperaturas das superfícies do isolamento e do cabo?

c Há preocupação em relação à capacidade do isolamento em suportar temperaturas elevadas. Qual a espessura do isolamento ( k = 0,5   W . m - 1 . K - 1   ) que produzirá o menor valor para a temperatura máxima na camada de isolamento? Qual será o valor da temperatura máxima quando essa espessura de isolamento for utilizada?

Passo 1

a Se o cabo estiver desencapado, qual será a temperatura em sua superfície?

Nosso primeiro desafio é o mais simples: a gente tem que calcular a temperatura no fio sem isolamento algum, ou seja, é só um corpo cilíndrico com geração de calor!

Como passa uma corrente elétrica pelo fio, a gente já sabe que vai gerar energia térmica ( q ˙ e l ) pelo efeito Joule. Então, bora escrever a expressão do fluxo de calor:

q ˙ e l = R e l . I 2

O enunciado não nos deu a informação quanto à resistência elétrica ( R e l ) do fio, mas sim a resistência por unidade de comprimento do fio ( R e l ' ). Então, a gente pode escrever a taxa de calor gerada em termos do comprimento também:

q e l ' = R e l ' . I 2

Ou a gente pode fazer tudo em termos de taxa de calor, que depois o comprimento vai cortar! Essa é sempre uma boa estratégia, então vamos fazer isso!

Escrevendo em termos da taxa:

q e l = 6 x 10 - 4 Ω m . L . 700   A 2

q e l = ( 294 . L )   W

Passo 2

Com a taxa de calor já calculada, bora fazer um balanço de energia na superfície do fio:

Então, conseguimos perceber que a energia gerada no volume do cilindro ( q ˙ e l ) entra na superfície externa e ela é dissipada por convecção.

Dessa maneira, a gente fica com o seguinte balanço de energia na superfície:

E ˙ e = E ˙ s

q e l = q c v

Fazendo um circuito térmico simples, temos:

Substituindo a expressão da taxa por convecção ( q ), a gente fica com:

q e l = T s - T ∞ R c v

Como a gente quer determinar a temperatura da superfície, bora isolar o termo T s :

T s = T ∞ + q e l . R c v

Com a expressão da resistência R c v ' , teremos:

T s = T ∞ + q e l . 1 π . D . L . h

Substituindo os valores do enunciado, a gente fica com:

T s = 303   K + 294 . L   W π . 0,005   m . L . ( 25   W . m - 2 . K - 1 )

Viu como cortou o comprimento do fio! ^^ Agora é só fazer os cálculos e:

T s = 1051,7   K

Passo 3

b Se um revestimento delgado for aplicado sobre o cabo, com uma resistência térmica de contato de 0,02   m 2 . K . W - 1 , quais serão as temperaturas das superfícies do isolamento e do cabo?

Na nova situação, a gente vai pegar aquele mesmo fio da letra a) e vamos colocar um isolamento envolvendo sua superfície.

Daí você poderia pensar que ao colocar o isolamento, a gente iria ficar com um circuito térmico da seguinte maneira:

Tá certo! Mas aqui, o isolamento é delgado, ou seja, ele é muito, muito, muito fino!

Como a gente sabe, quanto menor a espessura do material, menor será a resistência térmica dele. Então, para um isolamento delgado, a resistência por condução dele será desprezível, ficando, então, só a contribuição da resistência de contato!

Sendo assim, o circuito adequado seria:

Fazendo novamente o balanço de energia na superfície do fio, a gente fica com uma expressão parecida com a que achamos na letra a):

E ˙ e = E ˙ s

q e l = T s - T ∞ R t , c + R c v

Mas agora existe uma resistência térmica de contato em série com a de convecção!

Isolando a temperatura da superfície do fio, a gente fica com:

T s = T ∞ + q e l . R t , c + R c v

Mas cuidado!! A gente não pode colocar direto aquele valor de resistência térmica de contato do enunciado! Aquele valor é a resistência por unidade de área ( R t , c ' ' )! Pra gente converter um no outro, basta dividir pela área de troca térmica:

R t , c = R t , c ' ' A                       →                             R t , c = R t , c ' ' π . D . L

Assim:

T s = T ∞ + q e l . R t , c ' ' π . D . L + 1 π . D . L . h

T s = T ∞ + q e l π . D . L . R t , c ' ' + 1 h

Substituindo os valores do enunciado:

T s = 303   K + ( 294 . L )   W π . 0,005   m . L . 0,02   m 2 . K . W - 1 + 1 25   W . m - 2 . K - 1

Dessa maneira, a temperatura da superfície do fio será:

T s = 1426   K

Passo 4

Ainda temos que calcular a temperatura da superfície do isolamento. Então, ao invés de pegar todo o circuito, bora pegar só a parte da convecção!

Assim, nossa equação vai ficar:

q e l = T i s o l . - T ∞ R c v

Isolando a temperatura do isolamento, ficamos com:

T i s o l . = T ∞ + q e l . R c v

T i s o l . = T ∞ + q e l π . L . h

Substituindo os valores:

T i s o l . = 303   K + ( 294 . L )   W π . 0,005   m . L . 25   W . m - 2 . K - 1

T i s o l . = 1051,7   K

Hm, tá lembrado desse número!? Pois é, foi o mesmo valor que a gente achou na letra a). E já era de se esperar, porque estamos calculando a temperatura de um cilindro exposto ao mesmo fluido, com a mesma temperatura e com a mesma taxa de energia gerada.

Mas isso, claro, só porque o isolamento é delgado. “Mas e se ele não fosse?”. É isso que vamos ver na letra c), pequeno gafanhoto! Bora lá!

Passo 5

c Há preocupação em relação à capacidade do isolamento em suportar temperaturas elevadas. Qual a espessura do isolamento ( k = 0,5   W . m - 1 . K - 1   ) que produzirá o menor valor para a temperatura máxima na camada de isolamento? Qual será o valor da temperatura máxima quando essa espessura de isolamento for utilizada?

Agora sim! Aquele circuito térmico com a resistência de condução do isolamento vai aparecer aqui! Se liga aí:

Então, a gente pode fazer o mesmo esquema que fizemos nas letras a) e b). Então, ao balanço de energia e além...

E ˙ e = E ˙ s

q e l = T s - T ∞ R t , c + R c d + R c v

Agora, a gente tem a resistência de condução em série com as resistências de contato e de convecção! Isolando a temperatura da superfície do fio:

T s = T ∞ + q e l . R t , c + R c d + R c v

Com as expressões da resistência, ficamos com:

T s = T ∞ + q e l . R t , c ' ' 2 π . r . L + ln ⁡ r i / r   2 π . L . k + 1 2 π . r i . L . h

T s = T ∞ + q e l 2 π . L . R t , c ' ' r + ln ⁡ r i / r   k + 1 r i . h

Mas agora temos um pequeno desafio: a gente não sabe nem a temperatura da superfície ( T s ), nem a espessura do isolamento ( δ = r i - r ), pra poder calcular a resistência de condução. O que fazer?

Passo 6

O enunciado nos pediu uma coisa: a espessura do isolamento que produzirá o menor valor para a temperatura máxima na camada de isolamento.

Você já aprendeu no cálculo como encontrar máximo e mínimos, não é mesmo? Pois é, então aqui a gente pode achar qual é o valor de r i que faz a derivada de T s zerar!

Derivando a expressão que achamos em função de r i , teremos:

d T s d r i = 0 + q e l 2 π . L . 1 r . k . r r i - 1 r i 2 . h

No ponto de mínimo, a derivada é nula:

0 = q e l 2 π . L . 1 k . r i - 1 r i 2 . h

1 k . r i = 1 r i 2 . h

Assim:

r i = k h

Ou seja, o raio do isolamento equivale a:

r i = 0 , 5   W . m - 1 . K - 1 25   W . m - 2 . K - 1

r i = 0,02   m

Assim, a espessura do isolamento será:

δ = r i - r

δ = 0,02   m - 0,005 m 2

δ = 0,0175   m

Passo 7

Agora que já descobrimos a espessura do isolamento, podemos determinar as temperaturas da superfície do fio e do isolamento.

Pela expressão que achamos da temperatura na superfície do fio:

T s = T ∞ + q e l 2 π . L . R t , c ' ' r + ln ⁡ r i / r   k + 1 r i . h

T s = ( 303   K ) + 294 . L   W 2 π . L . 0 , 02 m 2 . K W 0,0025   m + ln ⁡ 0,02   m 0,0025   m   0,5 W m . K + 1 0,02   m . 25 W m 2 . K

Pelos cálculos, ficamos com:

T s = 964   K

Essa será a temperatura máxima do Sistema, dado que ela se refere a superfície mais próxima à geração de calor (que ocorre no interior do fio).

Resposta

a )   T s = 1051,7   K

b )   T s = 1426   K         e             T i s o l . = 1051,7   K

        c )     δ = 0,015   m               e             T s = 964   K  

Exercício Resolvido #6

Um reservatório esférico D i n t = 0,8   m armazena um gás a temperatura de 240   ° C . A parede do reservatório é composta de aço ( k = 45   W / m K ) e tem uma espessura igual a 2   c m .

Deseja-se adicionar um material isolante, de forma a reduzir a perda de calor do reservatório em 50 % . Determine a espessura necessária de isolante, considerando que a sua condutividade térmica vale 0,04   W / m K . Considere o coeficiente de troca de calor interno igual a 5   W / m 2 K , e o externo igual a 25   W / m 2 K , e temperatura ambiente de 20   ° C .

Passo 1

Antes de colocar o isolante, o circuito térmico é dado por:

Onde:

R t , c o n d = 1 4 . π . k   1 r i - 1 r e

Assim, a taxa de transferência de calor sem o isolante é dada por:

q = T ∞ , i - T ∞ , e R t

Onde a resistência térmica é dada por:

R t = 1 h i . A i + 1 4 . π . k   1 r i - 1 r e + 1 h e . A e

Trocando A pela área da superfície da esfera ( 4 . π . r 2 ) e substituindo os valores que temos:

R t = 1 5 . ( 4 . π . 0 , 4 2 ) + 1 4 . π . 45   1 0,4 - 1 0,42 + 1 25 . ( 4 . π . 0 , 42 2 )

R t = 0 , 1177   K / W

Assim, a taxa de transferência de calor sem o isolante é dada por:

q = 240 - 20 0 , 1177

q = 1869,2   W

Passo 2

Ao colocar o isolante, a taxa de transferência de calor será a metade, logo:

q ' = 0,5 . q → q ' = 934,6   W

Agora, como o isolante é colocado sobre a superfície externa da esfera, a resistência térmica equivalente será dada por:

R t ' = R t + R i s o = R t + 1 4 . π . k i s o   1 r e - 1 r i s o

Repare que:

r e = D i n t 2 + e s p e s s u r a = 0,42   m

Logo:

R t ' = 0,03 + 1 4 . π . 0,04 . 1 0,42 - 1 r i s o

R t ' = 0,03 + 4,74 - 2 r i s o

R t ' = 4,77 - 2 r i s o

Assim, o raio externo do isolante será:

q ' = T ∞ , i - T ∞ , e R t '

934,6 = 240 - 20 4,77 - 2 r i s o

4,77 - 2 r i s o = 0 , 2354

2 r i s o = 4 , 5346

r i s o = 0,4 4   m

Passo 3

Assim, a espessura do isolante será:

t i s o = r i s o - r e = 0,4 4 - 0,420

t i s o = 0 , 02   m

Resposta

t i s o = 0,0 2   m

Exercício Resolvido #7

(Adaptado) Um tanque esférico de 3   m de diâmetro contém gás de petróleo liquefeito a – 60   ° C . Um isolante de condutividade térmica igual a 0,06   W / m K e espessura de 250   m m é utilizado para reduzir o ganho de calor pelo gás.

Determine a posição radial na camada do isolante na qual a temperatura atinge 0 ° C , considerando que a temperatura ambiente vale 20   ° C e o coeficiente convectivo de troca de calor externo vale 6   W / m 2 K .

Passo 1

Como queremos descobrir em que ponto a temperatura será 0 ° C , podemos calcular esse ponto usando as resistências térmicas, onde o circuito térmico é dado por:

Onde r 0 é o raio que estamos procurando e está entre r 1 e r 2 .

Assim, podemos calcular o mesmo da seguinte forma:

20 - 0 1 h . A 2 + 1 4 π . k   1 r 0 - 1 r 2 = 0 - 60 1 4 π . k   1 r 1 - 1 r 0

Passo 2

Substituindo os valores, teremos:

20 - 0 1 6 × 4 π × 1,75 2 + 1 4 π × 0,06   1 r 0 - 1 1,75 = 0 - 60 1 4 π × 0,06   1 1,5 - 1 r 0

20 - 0 1 6 × 1,75 2 + 1 0,06   1 r 0 - 1 1,75 = 0 - 60 1 0,06   1 1,5 - 1 r 0

20 × 1 0,06   1 1,5 - 1 r 0 = 60 × 1 6 × 1,75 2 + 1 0,06   1 r 0 - 1 1,75

222,222 - 333,333 r 0 = 3,265 + 1000 r 0 - 571,428

1333,333 r 0 = 790,385

r 0 = 1333,333 790,385

Resposta

r 0 = 1,687   m

Exercício Resolvido #8

Uma semiesfera (uma esfera cortada pela metade) que estava com uma temperatura inicial T i teve sua face plana colocada sobre uma placa mantida a temperatura T i e esse conjunto foi colocado em um meio fluido a uma temperatura T ∞ que é menor que T i .

Esse meio fluido está a uma velocidade bem caracterizada de tal forma que existe um coeficiente de película médio, h , muito bem definido.

Partindo da equação geral de transferência de calor, equacione o modelo o modelo do perfil de temperatura da semiesfera e modele também a condições de contorno e iniciais. Utilize o sistema de coordenadas mais conveniente para a resolução do problema.

Justifique cada simplificação. Seja sucinto. NÃO RESOLVA A EQUAÇÃO, APENAS MODELE.

Passo 1

Como estamos trabalhando com uma semiesfera, vamos partir da equação de calor para sistemas esféricos, dada por:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ . ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Como temos uma condição em que a temperatura no plano da semiesfera é constante, a temperatura do sistema irá depender do raio r e do ângulo θ . Dessa forma, podemos rescrever a equação acima da seguinte forma:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Supondo que não há geração de energia:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Supondo que as propriedades da semiesfera não dependam da temperatura:

k . 1 r 2 . ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r + k . 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Dividindo toda a equação por k :

1 r 2 . ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ = 1 α . ∂ T ∂ t

Passo 2

Vamos trabalhar agora com as condições de contorno e condição inicial do sistema.

Inicialmente, toda a semiesfera estava a uma temperatura T i , logo:

T r , θ , 0 = T i

Para condições de contorno, podemos assumir temperatura constante em θ = π / 2 , convecção na superfície, e temperatura constante em r = 0 . Dessa forma, teremos o seguinte:

T r , π / 2 , t = T i

- k ∂ T ��� r r = R = h T R , θ , t - T ∞

T 0 , θ , t = T i

Resposta

1 r 2 . ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ = 1 α . ∂ T ∂ t

T r , π / 2 , t = T i - k ∂ T ∂ r r = R = h T R , θ , t - T ∞ T 0 , θ , t = T i T r , θ , 0 = T i

Exercício Resolvido #9

Existe a possibilidade de que no caso de uma tubulação, aumente-se a espessura de um certo isolante e isso aumente a transferência de calor ao invés de diminuir, tal como seria desejado ao aumentar a espessura de qualquer isolante. Isso nunca acontece quando a geometria é uma placa plana.

Explique o porquê, justificando MATEMATICAMENTE a sua resposta.

Passo 1

Isso pode acontecer porque, embora o isolante acrescente uma resistência térmica proporcional à espessura do isolante, a área externa também aumenta, aumentando a transferência de calor por convecção com o ambiente.

Vamos utilizar as seguintes variáveis pra resolver o problema:

  • q : Taxa de transferência de calor;
  • T 1 : Temperatura na superfície interna do isolante;
  • T ∞ : Temperatura do ambiente;
  • R i s o : Resistência térmica do isolamento;
  • R c o n v : Resistência térmica de convecção;
  • r i s o : Raio externo do isolante;
  • r 1 : Raio da superfície interna do isolante;
  • h : Coeficiente convectivo entre o tubo e o ambiente;
  • L : Comprimento do tubo.

A taxa de transferência de calor pode ser escrita em função das resistências térmicas da seguinte forma:

q = T 1 - T ∞ R i s o + R c o n v

Passo 2

Como estamos trabalhando com uma superfície cilíndrica, a resistência térmica de isolamento e a resistência térmica de convecção serão:

R i s o = ln ⁡ r i s o / r 1 2 π L k i s o

R c o n v = 1 h A = 1 2 π r i s o L h

Assim, a taxa de transferência de calor será:

q = T 1 - T ∞ ln ⁡ r i s o / r 1 2 π L k i s o + 1 2 π r i s o L h

Supondo todos os parâmetros fixos, exceto o raio externo de isolamento r i s o , haverá um valor para o qual o isolamento deixará de reduzir a transferência de calor e vai passar a aumentar a transferência de calor.

Esse valor pode ser obtido se derivarmos a expressão da taxa de transferência de calor em relação a r i s o e igualarmos a zero.

d q d r i s o = 0

Derivando a expressão de q em relação a r i s o , teremos:

d q d r i s o = - T 1 - T ∞ ln ⁡ r i s o / r 1 2 π L k i s o + 1 2 π r i s o L h 2   . 1 r i s o . 1 2 π L k i s o - 1 r i s o 2 . 1 2 π L h = 0

Analisando a expressão acima, veremos que ela será nula se:

1 r i s o . 1 2 π L k i s o - 1 r i s o 2 . 1 2 π L h = 0

Reorganizando a equação:

1 r i s o . 1 2 π L k i s o = 1 r i s o 2 . 1 2 π L h

1 k i s o = 1 r i s o . h

r i s o = k i s o h

Esse será o raio crítico de isolamento.

Ou seja, caso r i s o > r c r , o isolante irá aumentar a transferência de calor. Mas se r i s o < r c r , o isolante irá reduzir a transferência de calor.

Resposta

r c r = k i s o h

Caso r i s o > r c r , o isolante irá aumentar a transferência de calor. Mas se r i s o < r c r , o isolante irá reduzir a transferência de calor.

Exercício Resolvido #10

Forneça a formulação matemática para o problema de condução de calor em um cilindro oco de raio interno a , raio externo b e altura H , que encontra-se inicialmente na temperatura uniforme T 0 .

Uma das superfícies de topo do cilindro é aquecida por um fluxo de calor uniforme q 0 , enquanto a outra superfície de topo é isolada termicamente.

O cilindro troca calor internamente por convecção com um meio na temperatura T i , com coeficiente de transferência de calor h i . O cilindro troca calor através de sua superfície lateral externa com um meio na temperatura T e , com coeficiente de transferência de calor h e .

As temperaturas dos meios externo e interno, assim com os coeficientes de transferência de calor por convecção, são uniformes. Não há geração interna de energia no cilindro.

Passo 1

Como queremos fornecer a formulação matemática, precisamos obter uma equação a partir da equação de calor que, no caso de simetria cilíndrica, é dada por:

1 r . ∂ ∂ r k . r . ∂ T ∂ r + 1 r 2 . ∂ ∂ ϕ k . ∂ T ∂ ϕ + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Com as informações fornecidas pelo problema, podemos fazer as seguintes considerações:

  • Condução bidimensional nas direções radial r e axial z .
  • Não há geração interna de energia.
  • Propriedades constantes.

Assim, aplicando essas considerações à equação de calor, teremos:

k r . ∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r + k ∂ ∂ z ∂ T ∂ z = ρ . c p . ∂ T ∂ t

1 r . ∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r + ∂ ∂ z ∂ T ∂ z = 1 α . ∂ T ∂ t

Onde α = k / ρ . c p .

Passo 2

Para condição inicial, o problema nos disse que a temperatura é inicialmente uniforme e igual a T 0 . Dessa forma:

T r , z , t = T 0 p a r a   t = 0

Passo 3

Para condições de contorno, como estamos trabalhando com condução bidimensional, teremos duas condições para a direção radial, e duas para a direção axial.

De acordo com o problema, uma das superfícies de topo do cilindro é aquecida por um fluxo de calor uniforme q 0 , enquanto a outra superfície de topo é isolada termicamente. Dessa forma, podemos dizer que:

- k ∂ T ∂ z = q 0 p a r a   z = 0

- k ∂ T ∂ z = 0 p a r a   z = H

Para as condições radiais, o problema nos disse que ambas as superfícies trocam calor por convecção, dessa forma:

k ∂ T ∂ r + h i . T i - T r , z , t = 0 p a r a   r = a

k ∂ T ∂ r + h e . T e - T r , z , t = 0 p a r a   r = b

Resposta

1 r . ∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r + ∂ ∂ z ∂ T ∂ z = 1 α . ∂ T ∂ t

T r , z , t = T 0 p a r a   t = 0

- k ∂ T ∂ z = q 0 p a r a   z = 0

- k ∂ T ∂ z = 0 p a r a   z = H

k ∂ T ∂ r + h i . T i - T r , z , t = 0 p a r a   r = a

k ∂ T ∂ r + h e . T e - T r , z , t = 0 p a r a   r = b

Exercício Resolvido #11

Um vaso esférico de aço inoxidável k = 17   W / m K , com 1   m de diâmetro interno e 10   m m de espessura de parede, é usado como reator químico.

A superfície externa do reator é resfriada por ar com temperatura de 25 ° C e coeficiente de transferência de calor de 6   W / m 2 K . No regime permanente, deseja-se saber.

i Qual a taxa de calor transferida para o ar, sabendo-se que a temperatura da superfície interna do vaso e de 50 ° C ?

i i Qual a taxa volumétrica média de geração de energia W / m 3 no interior do reator?

i i i Utilizando a taxa de geração de energia calculada no item i i e supondo que uma camada de 20   m m de espessura de fibra-de-vidro k = 0,040   W / m K seja usada para isolar o reator, responda qual é a temperatura da superfície interna do reator. O contato entre o isolante e parede do reator é suposto perfeito.

Passo 1

i Qual a taxa de calor transferida para o ar, sabendo-se que a temperatura da superfície interna do vaso e de 50 ° C ?

Como temos as temperaturas do ar externo e da superfície interna do vaso, a taxa de transferência de calor pode ser calculada a partir do seguinte circuito térmico.

Onde A e = 4 π r 2 2 . Assim, a taxa de calor será:

q = T i - T ∞ R t = T i - T ∞ 1 4 π k 1 r 1 - 1 r 2 + 1 h . 4 π r 2 2

Substituindo os valores:

q = 50 - 25 1 4 π × 17 1 0,5 - 1 0,51 + 1 6 × 4 π × 0,51 2

Passo 2

i i Qual a taxa volumétrica média de geração de energia W / m 3 no interior do reator?

A taxa de geração pode ser calculada da seguinte forma:

q ˙ = q V = q 4 π r 1 3 3 = 488,5 4 π × 0,5 3 3

Passo 3

i i i Utilizando a taxa de geração de energia calculada no item i i e supondo que uma camada de 20   m m de espessura de fibra-de-vidro k = 0,040   W / m K seja usada para isolar o reator, responda qual é a temperatura da superfície interna do reator. O contato entre o isolante e parede do reator é suposto perfeito.

Ao adicionar a camada de fibra de vidro, o circuito térmico passa a ser dado por:

A resistência térmica total do circuito será dada por:

R t = 1 4 π . k a   1 r 1 - 1 r 2 + 1 4 π . k f   1 r 2 - 1 r 3 + 1 h . A e

R t = 1 4 π × 17 1 0,5 - 1 0,51 + 1 4 π × 0,04 1 0,5 1 - 1 0,5 3 + 1 6 × 4 π × 0,51 2

R t = 0,198   K / W

Como o problema nos pede pra usar a mesma taxa de geração de energia, ele na verdade está falando pra considerarmos a mesma taxa de calor que calculamos no item i . Dessa forma, a temperatura da superfície interna será:

q = T i - T ∞ R t

T i = q . R t + T ∞ = 488,5 × 0,198 + 25

Resposta

i q = 488,5   W

i i q ˙ = 933   W / m 3

i i i T i = 121,9   ° C

Exercício Resolvido #12

Considere um fio elétrico longo com raio r 1 = 0,2   c m e condutividade térmica de 15   W / m ° C . Por conta da corrente elétrica no fio, calor é gerado a uma taxa volum��trica uniforme 50   W / c m 3 .

O fio é revestido por um isolante elétrico cerâmico de 0,5   c m de espessura, cuja condutividade térmica é de 1,2   W / m ° C . A temperatura da superfície externa do isolante é T s = 45 ° C .

Supondo propriedades termofísicas constantes e contato perfeito entre o fio e o isolante, no regime permanente, calcule:

i Fluxo de calor na superfície externa do isolante elétrico;

i i Temperatura na interface entre o fio e o isolante;

i i i Temperatura no centro do fio.

Passo 1

i Fluxo de calor na superfície externa do isolante elétrico;

A taxa de transferência de calor q pode ser calculada a partir do calor gerado no fio q ˙ da seguinte forma:

q = q ˙ . V = q ˙ . π r 1 2 L

q = 50 × 10 6 × π × 0,002 2 × L

q = 628,32 L

O fluxo de calor será dado por:

q ' ' = q A s = q 2 π r 2 L = 628,32 L 2 π × 0,007 × L

Onde r 2 = r 1 + t , sendo t da espessura da camada de isolante.

q ' ' = 628,32 L 2 π × 0,007 × L

q ' ' = 14286   W / m 2

Passo 2

i i Temperatura na interface entre o fio e o isolante;

Como já temos a taxa de transferência de calor e a temperatura na superfície externa do isolante, podemos calcular a temperatura na interface entre o fio e o isolante a partir do seguinte circuito térmico:

Assim:

q = T 1 - T s ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k i s o

T 1 = T s + q . ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k i s o

Substituindo os valores:

T 1 = 45 + 628,32 L × ln ⁡ 0,007 / 0,002 2 π L × 1,2

Passo 3

i i i Temperatura no centro do fio.

A taxa de calor no fio pode ser escrita como:

q = - k f A . d T d r

q = k f . A 1 . T c - T 1 r 1

q = k f . 2 π r 1 L . T c - T 1 r 1

q = k f . 2 π L . T c - T 1

T c = T 1 + q k f . 2 π L

Substituindo os valores, teremos:

T c = 149,39 + 628,32 L 15 × 2 π L

Resposta

i q ' ' = 14,286   k W / m 2

i i T 1 = 149,39 ° C

i i i T c = 156,06 ° C

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