Soluções Tabeladas para Condução Transiente
Produzido por Giovanna RonzéTeoria
Introdução
Um dos principais objetivos quando estudamos a condução de calor é determinar a distribuição de temperaturas no interior de um corpo.
Para casos em que , podemos usar o Método dos Parâmetros Concentrados. Quando , temos a opção de usar o Método dos Efeitos Espaciais.
No entanto, quando estamos trabalhando com placas planas, podemos usar soluções tabeladas para resolver a equação de calor.
Vamos pensar na seguinte situação:
Uma placa de espessura , confinada a uma região , está inicialmente a uma temperatura uniforme . Em , a superfície é conservada isolada e a superfície em é mantida a uma temperatura constante .
O nosso objetivo aqui é desenvolver a expressão da distribuição transiente de temperatura na placa.
Formulação Matemática do Problema
A equação de calor é dada por:
Para representar o nosso problema, vamos fazer as seguintes considerações:
- Transferência de calor unidimensional;
- Transferência de calor sem geração térmica ;
- Propriedades térmicas constantes.
Dessa forma, a nossa equação de calor fica com essa cara:
Em que é a difusividade térmica do material.
Para que as condições de contorno sejam homogêneas, vamos definir uma nova temperatura , dada por:
Dessa forma, a equação de calor terá essa cara:
As condições de contorno serão de superfície isolada em , e superfície a temperatura constante em . Dessa forma:
E a condição inicial será dada por:
Soluções Tabeladas
A equação de calor que encontramos é resolvida através do método de separação de variáveis. O mesmo pressupõe que a função pode ser representada como o produto de duas funções que dependem de e , separadamente:
Aplicando esse método e resolvendo a equação de calor, podemos representar a temperatura como:
Tá, eu sei que assusta, então vamos entender quem é quem! A função corresponde à distribuição inicial de temperatura.
No nosso caso, como a placa está inicialmente a uma temperatura uniforme :
Além disso:
- : Autofunções;
- : Autovalores;
- : Integral de normalização.
Esses três caras são justamente o que a nossa tabela irá fornecer. Assim, pra determinar esses caras, basta saber as condições de contorno, se liga:
Onde .
Na tabela, temos as seguintes condições de contorno:
- : Temperatura constante;
- : Superfície isolada;
- : Convecção na superfície.
Voltando ao nosso problema...
No nosso caso, temos uma condição de superfície isolada em e temperatura constante em .
Isso corresponde ao caso 4 da tabela. Dessa forma, a autofunção será:
Onde é o autovalor dado como solução da seguinte equação:
O cosseno será nulo para quando o ângulo assumir algum dos seguintes valores:
Logo, podemos dizer que:
E a integral de normalização será:
Dessa forma, substituindo tudo isso na expressão de , teremos:
Vamos resolver a integral separada pra não bagunçar demais:
Repare que, quando for par, o seno será igual a e, quando for ímpar, o seno será igual a . Assim, podemos reescrever o resultado acima como:
Substituindo na expressão da temperatura, teremos:
Onde:
Agora estamos prontos pra cair nos exercícios!