12-145 Ar é resfriado à medida que escoa através de um duto com 20 cm de diâmetro. As condições de entrada são M 1   =   1,2 , T 01 = 350   K e P 1   =   240   k P a e o número de Mach de saída é M a 2   =   2,0 . Desprezando os efeitos do atrito determine a taxa de resfriamento do ar.

Passo 1

Vamos lá!! Aqui como consequência do escoamento a gente tem o resfriamento do ar e se tem transferência de calor, é do escoamento de Rayleigh que estamos falando!

Vamos fazer um esqueminha do problema:

E queremos achar a taxa de resfriamento do ar, Q ˙ !

Para isso vamos usar a seguinte expressão:

Q ˙ = m ˙ a r c p T 02 - T 01

Não conhecemos nem m ˙ a r nem T 02 , então vamos atrás deles!!

Passo 2

m ˙ a r é dado por:

m ˙ a r = ρ 1 A c 1 V 1

Se considerarmos o comportamento do ar como gás ideal:

ρ 1 = P 1 R T 1

Considerando o escoamento é isentrópico, assim podemos achar T 1 :

T 1 = T 01 1 + k - 1 2   M a 1 2 - 1

Lembrando que para o ar k = 1,4 :

T 1 = 350 1 + 1,4 - 1 2   1,2 2 - 1 = 271,7   K

Agora P 1 :

P 1 = P 01 1 + k - 1 2   M a 1 2 - k k - 1

Substituindo:

P 1 = 240 1 + 1,4 - 1 2   1,2 2 - 1,4 1,4 - 1 = 98,97   k P a

Lembrando que R = 0,287   k J / k g   K , podemos calcular ρ 1 :

ρ 1 = 98,97 0,287 × 271,7 = 1,269   k g / m 3

Ta falantando V 1 pra a gente conseguir calcular m ˙ a r :

V 1 = M a 1 c 1

Calculamos c 1 :

c 1 = k R T 1 = 1,4 × 287 × 271,7 = 330,4   m / s

E V 1 :

V 1 = 1,2 × 330,4 = 396,5   m / s

E finalmente vamos achar m ˙ a r :

m ˙ a r = 1,269 × π × 0,20 2 4 × 396,5

Calculando:

m ˙ a r = 15,81   k g / s  

Passo 3

Agora precisamos de T 02 , usando M a 1 e M a 2 conseguimos relações importante na tabela A - 15 :

M a 1 = 1,8 → T 01 T 0 * = 0,9787

M a 1 = 2 → T 02 T 0 * = 0,7934

Com isso podemos fazer:

T 02 T 01 = T 02 T 0 * T 01 T 0 * = 0,7934 0,9787 = 0,8107

E ficamos com:

T 02 = 0,8107   T 01

Lembrando que T 01 = 350   K

T 02 = 0,8107 × 350 = 283,7   K

Passo 4

Podemos finamente achar Q ˙ :

Q ˙ = m ˙ a r c p T 02 - T 01

lembrando que c p é tabelado:

c p = 1,005   k J / k g   K

Substituindo:

Q ˙ = 15,81 × 1,005 283,7 - 350

Calculando:

Q ˙ = - 1053   k W

Uhuuuul!!!

Resposta

Q ˙ = - 1053   k W

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