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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 13

13. Um cilindro com raio ro, comprimento L e condutividade térmica k está imerso em um fluido com coeficiente de transferência de calor por convecção h e temperatura desconhecida T∞. Em certo instante do tempo, a distribuição de temperaturas no cilindro é T(r) = a + br2, na qual a e b são constantes. Obtenha expressões para a taxa de transferência de calor em ro e para a temperatura do fluido.

Passo 1

Escreva a equação da lei de Fourier para o cilindro:

q r = - k A r d T r d r

Substituindo na expressão acima, vem:

q r = - k × 2 π r l × d ( a + b r 2 ) d r

= - k × 2 π r l × ( 2 b r )

q r = - 4 π k b r 2 l

Escreva a equação radial de transferência de calor quando r = r 0 .

q r = - 4 π k b r 0 2 l

Portanto, a equação de transferência de calor radial devido à condução é = - 4 π k b r 0 2 l

Passo 2

Obtenha o calor perdido devido à convecção na superfície da seguinte maneira:

q c o n v = h × A r T r 0 - T ∞

q c o n v = h × 2 π r 0 l T r 0 - T ∞

q c o n v = 2 π h r 0 l T r 0 - T ∞

Na superfície do cilindro, o calor perdido devido à condução é igual ao calor perdido devido à convecção.

q c o n d = q c o n v

Substituindo as expressões de calor encontradas:

- 4 π k b r 0 2 l = 2 π h r 0 l T r 0 - T ∞

- 2 k b r 0 = h T r 0 - T ∞

- 2 k b r 0 h = T r 0 - T ∞  

T ∞   = T r 0 + 2 k b r 0 h

Onde T r 0 = a + b r 0 2 ,

T ∞   = a + b r 0 2 + 2 k b r 0 h

Portanto, a equação da temperatura do fluido é a + b r 0 2 + 2 k b r 0 h .

Resposta

q r = - 4 π k b r 0 2 l

q c o n v = 2 π h r 0 l T r 0 - T ∞

T ∞   = a + b r 0 2 + 2 k b r 0 h

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