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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 31

Ar a 138 kPa (abs) e 38ºC escoa em torno de uma quina arredondada na entrada de um difusor. A velocidade do ar é 46 m/s e o raio de curvatura das linhas de corrente é 75 mm. Determine o módulo da aceleração centrípeta experimentada por uma partícula fluida percorrendo a quina. Expresse a sua resposta em gs (número de acelerações da gravidade). Avalie o gradiente de pressão, ∂p/∂r.

Passo 1

Pessoal, nesta questão temos um escoamento curvo. Então, temos que aplicar as coordenadas cilíndricas para descrever o movimento nas linhas de corrente. Vamos para a Equação de Euler:

ρ g → - ∇ p = ρ D V → D t = ρ a p →

Vamos considerar que a gravidade atua na direção z g → = g k ^ . Considerando regime permanente, fluido incompressível e atrito desprezível, podemos abrir esta equação em relação a r:

ρ g r - ∂ p ∂ r = ρ a r = ρ ∂ V r ∂ t + V r ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V r ∂ θ + V z ∂ V r ∂ z - V θ 2 r

Ao escoar nesta trajetória, o movimento pode ser descrito como um Vórtice irrotacional (ver tabela 6.2). Então V r = 0 ; V z = 0 ; podemos simplificar a equação para:

- ∂ p ∂ r = ρ a r = ρ - V θ 2 r

a r = - V θ 2 r

Substituindo os valores V θ = 4 6 m s ; r = 0,075 m :

a r = - 46 2 0,075 = - 28213 m s 2

Considerando g = 9,81 m s 2 :

a r g = - 28213 9,81 m s 2

a r g = 2876   m / s 2

Passo 2

Usando a mesma equação, vamos relacionar agora o gradiente de pressão.

- ∂ p ∂ r = ρ a r

- ∂ p ∂ r = ρ - V θ 2 r

∂ p ∂ r = ρ V θ 2 r

Para encontrar a massa específica do ar, vamos usar a equação de Clapeyron, ou melhor, a equação dos gases ideais.

P V = m R T

P R T = m V

Como m v = ρ :

ρ = P R T

Substituindo na equação odo gradiente de pressão:

∂ p ∂ r = P R T V θ 2 r

O enunciado nos dá que:

P = 138   k P a ; T = 38 ℃ = 311 K ; R = 287 J k g ∙ K

∂ p ∂ r = 138 ( 287 ) 311 46 2 0,075

∂ p ∂ r = 43,62   k P a / m

Resposta

a r g = 2876   m / s 2

∂ p ∂ r = 43,62   k P a / m

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