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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 47

5.47 Um líquido incompressível com viscosidade desprezível escoa através de um tubo horizontal. O escoamento é permanente. O diâmetro do tubo varia linearmente de 10   c m até 2,5   c m ao longo de um comprimento de 2   m . Desenvolva uma expressão para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha central do tubo. Trace um gráfico da velocidade e da aceleração na linha central v e r s u s a posição ao longo do tubo, se a velocidade na linha central foi igual a 1   m / s .

Passo 1

Vamos começar considerando fluido incompressível e fluxo uniforme na entrada e na saída.

Sabemos que a área por de representada por:

A = π D 2 4

Mas como o diamentro varia linearmente, podemos achar uma expressão para o diâmetro variando com x: (equação de uma reta)

D = a x + b

Mas temos o diâmetro de entrada: (em x = 0 )

D = D e

D e = a 0 + b

b = D e

E temos o diâmetro de saída: (em x = L )

D = D s

D s = a L + D e

a = D s - D e L

Então:

D =   D s - D e L x + D e

Passo 2

Pela equação da continuidade temos:

V e A e = V A

V e π D e 2 4 = V π D 2 4

V e π D e 2 4 = V π D s - D e L x + D e 2 4

V = V e D e 2 D s - D e L x + D e 2

V = 1 0,1 2 0,025 - 0,1 2 x + 0,1 2

V = 0,01 - 0,0375 x + 0,1 2

Passo 3

Como só tem variação em x, então a aceleração é dada por:

a p x = V ∂ V ∂ x

Calculando a derivada parcial:

∂ V ∂ x = D s - D e L - 2 V e D e 2 D s - D e L x + D e 3

∂ V ∂ x = - 2 V e D e 2 D s - D e L D s - D e L x + D e 3

Então:

a p x = V e D e 2 D s - D e L x + D e 2 - 2 V e D e 2 D s - D e L D s - D e L x + D e 3

a p x = - 2 V e 2 D e 4 D s - D e L D s - D e L x + D e 5

Como consideramos fluxo uniforme podemos considerar V e a velocidade na linha central. ( V e = 1   m / s )

a p x = - 2 1 2 0,1 4 ( 0,025 ) - 0,1 2 0,025 - 0,1 2 x + 0,1 5

a p x = 7,5 × 10 - 6 - 0,0375 x + 0,1 5

Resposta

a p x = - 2 V e 2 D e 4 D s - D e L D s - D e L x + D e 5

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