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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 64

5.64 O campo de velocidade para um escoamento permanente e não viscoso, da esquerda para a direita sobre um cilindro circular de raio R, é dado por V → = U cos ⁡ θ 1 - R r 2 e ^ r - U   s e n   θ   1 + R r 2 e ^ θ . Obtenha expressões para a aceleração de uma partícula fluida movendo ao longo da linha de corrente de estagnação θ = π e para a aceleração ao longo da superfície do cilindro (r=R). Trace um gráfico de a r como uma função de r/R para θ = π , e outro de a r como função de θ para r=R; trace um gráfico de a θ como função de θ para r=R. Comente sobre os gráficos. Determine os locais em que estas acelerações atingem valores máximo e mínimo.

Passo 1

Vamos considerar estado estacionário, fluido incompressível e, como a velocidade não é dependente, de z, não há componente z.

Para a aceleração a partir dessas considerações e em coordenadas cilíndricas, vamos já calcular as componente:

a p r = V r ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V r ∂ θ - V θ 2 r

a p θ = V r ∂ V θ ∂ r + V θ r ∂ V θ ∂ θ + V r V θ r

Passo 2

Primeiro vamos calcular para θ = π :

V → = U cos ⁡ π 1 - R r 2 e ^ r - U   s e n   π   1 + R r 2 e ^ θ

V → = U - 1 1 - R r 2 e ^ r - U   0   1 + R r 2 e ^ θ

V → = U R r 2 - 1 e ^ r - 0   e ^ θ

Então temos:

V r =   U R r 2 - 1

V θ = 0

Calculando as derivadas parciais:

∂ V r ∂ r = U - 2 R 2 r 3 = - 2 U R 2 r 3

∂ V r ∂ θ = 0

∂ V θ ∂ r = 0

∂ V θ ∂ θ = 0

Portanto, as componentes da aceleração ficam:

a p r = U R r 2 - 1 - 2 U R 2 r 3 + 0 r 0 - 0 r

a p r = 2 U 2 R 2 r 3 1 - R r 2

a p θ = U R r 2 - 1 0 + 0 r 0 + U R r 2 - 1 0 r

a p θ = 0

Pelo gráfico podemos dizer que a p r atinge valor máximo em r R ≅ 1,3 .

Passo 3

Agora vamos calcular para r = R :

V → = U cos ⁡ θ 1 - R R 2 e ^ r - U   s e n   θ   1 + R R 2 e ^ θ

V → = - 2 U   s e n   θ   e ^ θ

Então temos:

V r =   0

V θ = - 2 U   s e n   θ

Calculando as derivadas parciais:

∂ V r ∂ r = 0

∂ V r ∂ θ = 0

∂ V θ ∂ r = 0

∂ V θ ∂ θ = - 2 U cos ⁡ θ

Portanto, as componentes da aceleração ficam:

a p r = 0 ( 0 )   + - 2 U   s e n   θ r 0 - - 2 U   s e n   θ 2 r

a p r = - 4 U 2   s e n   θ 2 r

a p θ = 0 ( 0 )   + - 2 U   s e n   θ r - 2 U cos ⁡ θ + 0 - 2 U cos ⁡ θ r

a p θ = 4 U 2 s e n   θ cos ⁡ θ r

Pelo gráfico podemos dizer que a p r tem valor máximo em θ = 0 e 180 ° e valor mínimo em θ = 90 ° . (esses valores são bem razoáveis de serem vistos porque a função é seno, ne... seno é positiva de zero a 180 graus mesmo, mas tem um menos na frente bla bla bla)

Já para a p θ tem valor máximo em θ = 45 ° e valor mínimo em θ = 135 ° .

Resposta

a p r = 2 U 2 R 2 r 3 1 - R r 2

a p θ = 0

a p r = - 4 U 2   s e n   θ 2 r

a p θ = 4 U 2 s e n   θ cos ⁡ θ r

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