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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 76

14-76 Considere uma bomba-turbina que opera tanto como bomba quanto como turbina. Sob condições nas quais a velocidade rotacional ω e a vazão V ˙   são iguais para a bomba e a turbina, verifique se as velocidades específicas da turbina e da bomba estão relacionadas como:

Passo 1

Opaaa, ei ai!? Tudo show de bola?!

A gente tem uma máquina que funciona tanto como bomba quanto turbina e ω   e V ˙ são iguais para as duas funções.

A gente tem relacionar a velocidade específica da bomba e da turbina e chegar na mesma expressão que o problema deu pra a gente!

Vamos lembrar algumas formulinhas, primeiro a velocidade específica da bomba:

N S p = ω V ˙ 1 2 g H B o m b a 3 4  

A velocidade específica da turbina:

N S t = ω b p h T u r b i n a 1 / 2 ρ 1 / 2   g H T u r b i n a 3 / 4

Show, agora vamos rearranjar a velocidade específica da turbina de uma forma que a expressão de eficiência da turbina apareça!

Lembrando a fórmula de η T u r b i n a :

η T u r b i n a = b p h T u r b i n a ρ g H T u r b i n a V ˙

Dando aquela arrumadinha a gente fica assim:

N S t = ω V ˙ 1 2 g H T u r b i n a     3 4   b p h T u r b i n a ρ g H T u r b i n a V ˙ 1 / 2

Podemos substituir a eficiência:

N S t = ω V ˙ 1 2 g H T u r b i n a     3 4   η T u r b i n a 1 / 2

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha nas eficiências da bomba e da turbina juntas:

η T u r b i n a = b p h T u r b i n a ρ g H T u r b i n a V ˙

η B o m b a = ρ g H B o m b a V ˙ b p h B o m b a

A vazão é a mesma, portanto:

H T u r b i n a = H B o m b a b h p T u r b i n a b h p B o m b a   η B o m b a η T u r b i n a

A gravidade de a densidade do fluido a gente cortou no processo!

Agora vamos pegar esse H T u r b i n a e vamos substituir lá na expressão de velocidade específica da turbina que a gente tinha deixado no jeito:

N S t = ω V ˙ 1 2 g H B o m b a     3 4   η T u r b i n a 1 2 b h p B o m b a   η B o m b a η T u r b i n a b h p T u r b i n a 3 / 4

Agora é só arrumar a casa:

N S t = N S p   η T u r b i n a 5 4   η B o m b a 3 4   b h p B o m b a   b h p T u r b i n a 3 / 4

Aweee!!!

Passo 3

Se a gente substituir os b h p s usando as fórmulas de eficiência, chegamos em:

N S t = N S p   η T u r b i n a 5 4   η B o m b a 3 4   ρ g H B o m b a V ˙ η B o m b a ρ g H T u r b i n a V ˙ η T u r b i n a 3 / 4

Agora organizamos e:

N S t = N S p   η T u r b i n a 1 2     H B o m b a H T u r b i n a 3 / 4

Prontinho!!!

Resposta

N S t = N S p   η T u r b i n a 5 4   η B o m b a 3 4   b h p B o m b a   b h p T u r b i n a 3 / 4

N S t = N S p   η T u r b i n a 1 2     H B o m b a H T u r b i n a 3 / 4

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