179 – Um superfície quente de 15   c m × 20   c m a 85   ℃ deve ser resfriada através de aletas de alumínio k = 237 W m ⋅ K com 4   c m de comprimeno e com seção transversal quadrada de 2   m m × 2   m m . A temperatura do meio em torno é de 25   ℃ , e o coeficiente de transferência de calor nas superfícies pode ser considerada 20 W m 2 ⋅ K . Considerando que a taxa de transferência de calor a partir da superfície quente de deve ser triplicada. Determine o número de aletas que precisam ser fixadas.

Passo 1

Como a área de seção transversal das aletas permanece constante.

Nós sabemos:

m = h p k A c  

Onde A c é a área da seção transversal da aleta.

= h × 4 a k a 2

Onde a é a seção transversal.

= 20 × 4 ( 0,002 ) 237 0,002 2

m = 12,99   m - 1

Passo 2

A eficiência das aletas é:

n e f = tanh ⁡ m L m L

= tanh ⁡ 12,99   m - 1 × 0,04 m 12,99   m - 1 × 0,04   m

n e f = 0,9187

Passo 3

O número de aletas será  n a l e t a s .

A área de transferência de calor para a superfície aletada é:

A a = n a l e t a s × 4 × ( 0,002 ) ( 0,04 )

A a = 0,00032 n a l e t a s   m 2

A área de transferência de calor da superfície não cortada é:

A n a = 0,15 0,20 - n a l e t a s ( 0,002 ) ( 0,002 )

A n a = 0,03 - 0,000004 n a l e t a s   m 2

Passo 4

Sabemos que a eficiência da aleta é a razão entre a taxa real de transferência de calor da aleta e a taxa ideal de transferência de calor da aleta se a aleta inteira estivesse na temperatura base. Assim:

n e f = Q ˙ f h A a ( T s - T ∞ )

Q ˙ f = n f h A a ( T s - T ∞ )

= 0,9187 × 20 × 0,00032 n a l e t a s × ( 85 - 25 )

Q ˙ f = 0,35278 n a k e t a s   W

Passo 5

A quantidade de taxa de transferência de calor da aleta não cortada é:

Q ˙ n c = h A n a ( T s - T ∞ )

= 20 × 0,03 - 0,000004 n a l e t a s × ( 85 - 25 )

Q ˙ n c = 36 - 0,0048 n a l e t a s

Taxa total de transferência de calor é:

Q ˙ t o t a l = Q ˙ f + Q ˙ n c

= 0,35278 n a k e t a s + 36 - 0,0048 n a l e t a s

Q ˙ t o t a l = 0,34798 n a l e t a s + 36 W

Passo 6

Área da superfície de base sem aleta é:

A n a = ( 0,15 ) ( 0,20 )

A n a = 0,03   m 2

Taxa de transferência de calor sem aletas:

Q ˙ n a = h A n a ( T b - T s )

= ( 20 ) ( 0,03 ) ( 85 - 25 )

Q ˙ n a = 36   W

Passo 7

A eficácia geral das aletas pode ser usada para calcular o número total de aletas.

Sabemos que a eficácia da aleta é a taxa de transferência de calor com a taxa de transferência de calor sem a aleta.

ε = Q ˙ t Q ˙ n a

3 = 0,34798 n a l e t a s + 36 36

n a l e t a s = 206,908

Portanto, o número total de aletas presas deve ser 207 .

Resposta

n a l e t a s = 207

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