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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 30

30 – Um disco de alumínio quente de 0,5 m de diâmetro e 35 mm de espessura é resfriado de uma temperatura inicial Ti=400°C em um grande banho de óleo de temperatura To=35°C. Como está resfriando, o disco é colocado horizontalmente no fundo do recipiente bem isolado do banho de óleo. Use os resultados da Seção 5.3.3 para determinar o tempo necessário para reduzir a temperatura do disco para 100°C. As propriedades do metal são ρ=1000 kg/m3, k=185 W/m.K, e cp=775 J/kg.K.

Passo 1

Para determinarmos o tempo necessário, então, como foi sugerido no enunciado vamos a Seção 5.3.3 do Incropera para encontrar alguma expressão útil que possa nos ajudar

Pela Seção 5.3.3, temos que pela Eq. 5.28 (Eq1) e Eq. 5.26 (Eq2) desta seção 5.3.3:

θ θ i = n c A S θ i n ρ V c p t + 1 - 1 n         E q 1

h = c T - T o n             E q 2

Onde,

-n e c são constantes que dependem das condições do processo e podem ser determinadas em tabela;

-AS é a área da superfície do disco;

-V é o volume do disco;

-cp é o calor especifico;

-ρ é a densidade;

-t é o tempo;

-T é a temperatura final;

-To é a temperatura do óleo.

Os parâmetros θ são definidos como:

θ = T - T o

θ i = T i - T o

Onde, Ti é a temperatura inicial.

A Eq1 é uma equação para processo transiente considerando que o coeficiente de troca térmica varia com a temperatura, o que plausível de se considerar, e a Eq2 representa essa variação de h com T.

Passo 2

A área total da superfície do disco e o volume do disco são:

A S = 2 π 4 D 2 + π D e = π 2 D 2 + π D e

Onde e é a espessura do disco e D é o seu diâmetro

Para o volume

V = π 4 D 2 e

Não foi informado os valores de n e c, mas podemos encontrar utilizando algumas correlações empíricas e dados tabelados.

Passo 3

Vamos lembrar que o coeficiente de troca térmica h pode ser determinado por uma correlação de Nusselt.

N u = h D k

h = k N u D

Onde para Nusselt, vamos pegar a correlação de Morgan que é a seguinte

N u = c R a n

Onde, Ra é o nº de Rayleigh que é dado por

R a = g β T - T o D 3 v α

Substituindo as relações

N u = C g β T - T o D 3 v α n = C g β D 3 v α n T - T o n

h = k N u D = k D C g β D 3 v α n T - T o n

Comparando a equação acima com a Eq2:

h = k D C g β D 3 v α n T - T o n = c T - T o n

Assim,

c = k D C g β D 3 v α n

As constantes C e n, podem ser encontradas na tabela 9.2 do Incropera, cap. 9, usando o valor de Rayleigh (Ra)

Dados tabelados para o óleo, a Tf=250ºC=523K:

v = 5,83 x 10 - 6 m 2 s ;   β = 0,70 x 10 - 3   K - 1 ;   α = 0,662 x 10 - 7 m 2 s

Passo 4

Calculando Ra:

R a = 9,81 m s 2 ( 0,70 x 10 - 3   K - 1 ) 100 - 35 K ( 0,5 m ) 3 5,83 x 10 - 6 m 2 s 0,662 x 10 - 7 m 2 s = 1,45 x 10 11

Pelo valor de Rayleigh, vamos na tabela 9.2 e olhar a faixa correspondente a esse valor e pegarmos valores de C e n. Os valores são

C = 0,125 ; n = 0,333

Assim, para a constante c

c = 185 W m K 0,5 m 0,125 9,81 m s 2 0,70 x 10 - 3   K - 1 0,5 m 3 5,83 x 10 - 6 m 2 s 0,662 x 10 - 7 m 2 s 0,333

c = 60327,73

Passo 5

Voltando na Eq1

θ θ i = T - T o T i - T o = n c A S θ i n ρ V c p t + 1 - 1 n

Vamos tentar isolar t

T - T o T i - T o - n = n c A S θ i n ρ V c p t + 1

n c A S θ i n ρ V c p t = T - T o T i - T o - n - 1

t = T - T o T i - T o - n - 1 n c A S θ i n ρ V c p

Substituindo as expressões da área e do volume:

t = T - T o T i - T o - n - 1 n c π 2 D 2 + π D e θ i n ρ π 4 D 2 e c p

t = ρ π 4 D 2 e c p T - T o T i - T o - n - 1 n c π 2 D 2 + π D e T i - T o n

Aplicando os valores:

t = 1000 k g m 3 π 4 0,5 m 2 0,035 m 775 J k g K 100 - 35 400 - 35 - 0,3333 - 1 0,333 ( 60327,73 ) π 2 ( 0,5 m ) 2 + π ( 0,5 m ) ( 0,035 m ) 400 - 35 0,3333 K 1 3

t = 4141   s = 69   m i n = 1,15   h

Resposta

t = 4141   s = 69   m i n = 1,15   h

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