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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 106

4.106 Ar, na condição-padrão, escoa no longo de uma placa plana. A velocdiade da corrente livre, não perturbada, é U 0 = 20   m / s . Em L = 0,4   m a jusante da borda de ataque da placa, a espessura da camada-limite é δ = 2   m m . O perfil de velocidade nesse local é aproximado para u / U 0 = y / δ . Calcule a componente horizontal da força por unidade de largura requerida para manter a placa estacionária.

Passo 1

Vamos começar encontrando a vazão mássica que sai do volume de controle através do lado bc. Vamos usar a equação de continuidade.

ρ U 0 w δ = m ˙ b c + ∫ 0 δ ρ U 0 y δ w   d y

m ˙ b c = ρ U 0 w δ - ∫ 0 δ ρ U 0 y δ w   d y

m ˙ b c = ρ U 0 w δ - ρ U 0 w y 2 2 δ 0 δ

m ˙ b c = ρ U 0 w δ - ρ U 0 w δ 2 2 δ

m ˙ b c = ρ U 0 w δ - ρ U 0 w δ 1 2

m ˙ b c = ρ U 0 w δ 1 - 1 2

m ˙ b c = ρ U 0 w δ 1 2

Passo 2

Agora vamos usar a componente x da equação da quantidade de movimento.

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ∫ 0 δ u ρ u w   d y

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ∫ 0 δ U 0 y δ ρ U 0 y δ w   d y

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ∫ 0 δ ρ U 0 2 w 2 y 2 δ 2   d y

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ρ U 0 2 w 2 y 3 3 δ 2 0 δ

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ρ U 0 2 w 2 δ 3 3 δ 2

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ρ U 0 2 w δ 2 1 3

R x = - ρ U 0 2 w δ + U 0 ρ U 0 w δ 1 2 + ρ U 0 2 w δ 1 3

R x = - ρ U 0 2 w δ + ρ U 0 2 w δ 1 2 + ρ U 0 2 w δ 1 3

R x = ρ U 0 2 w δ - 1 + 1 2 + 1 3

Pegando o valor da densidade do ar no Apêndice A ( ρ = 1,19   k g / m 3 ) e como ele não damos a largura, vamos passar para o o outro lado dividindo e acharemos uma “força por unidade de largura”.

R x w = ρ U 0 2 δ - 1 + 1 2 + 1 3

R x w = 1,19 20 2 0,002 - 1 + 1 2 + 1 3

R x w = - 0,159 N m

Mas a força pra manter a placa estacionária é:

K x = - R x

K x w = 0,159 N m

Resposta

K x w = 0,159 N m

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