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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 104

4.104 Considere o escoamento incompressível de um fluido em uma camada-limite como descrito no Exemplo 4.2. Mostre que a força de arrasto devido ao atrito do fluido sobre a superfície é dada por

F f = ∫ 0 δ ρ u U - u w d y

Avalie a força de arrasto para as condições do Exemplo 4.2.

Passo 1

Os dados do exemplo, porque o autor ficou com preguiça e não o julgo.

U = 30   m / s

u U = 2 y δ - y δ 2

δ c d = 0,005   m

ρ = 1,24   k g / m 3

w = 0,6   m

Pela equação da continuidade:

U w δ = ∫ 0 δ u w   d y + m ˙ b c

m ˙ b c =   U w δ - ∫ 0 δ u w   d y

m ˙ b c = ρ U w δ - ∫ 0 δ ρ u w   d y

Agora vamos tentar colocar a primeira parcela depois do sinal de igual dentro de uma integral... é mais fácil do que parece. Você vai usar um dy e integrar de 0 até δ .

m ˙ b c = ∫ 0 δ ρ U w   d y - ∫ 0 δ ρ u w   d y

m ˙ b c = ∫ 0 δ ρ U - u w   d y

Passo 2

Usando a equação da quantidade de movimento:

R x = U - ρ U A + ∫ 0 δ u ρ u w   d y + U m ˙ b c

Aqui vamos fazer a mesma coisa que fizemos no passo anterior.

O que vamos fazer é, mais ou menos, derivar a área, mas em realção a y ( d A = w d y ) e colocar dentro da integral.

R x = ∫ 0 δ U - ρ U w   d y + ∫ 0 δ u ρ u w   d y + U ∫ 0 δ ρ U - u w   d y

R x = ∫ 0 δ ρ w - U 2   d y + ∫ 0 δ ρ w ( u 2 )   d y + ∫ 0 δ ρ w ( U 2 - U u )   d y

R x = ∫ 0 δ ρ w - U 2 + u 2 + U 2 - U u   d y

R x = ∫ 0 δ ρ w u 2 - U u   d y

R x = ∫ 0 δ ρ w u u - U   d y

Mas a força de arrasto é:

K x = - R x

K x = - ∫ 0 δ ρ w u u - U   d y

K x = ∫ 0 δ ρ w u U - u   d y

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Para avaliar nas condições do exemplo, vamos resolver a integral...

K x = ∫ 0 δ ρ w U 2 y δ - y δ 2 U - U 2 y δ - y δ 2   d y

K x = ∫ 0 δ ρ w U 2 2 y δ - y δ 2 1 - 2 y δ - y δ 2   d y

K x = ∫ 0 δ ρ w U 2 2 y δ - y δ 2 - 2 y δ - y δ 2 2   d y

K x = ∫ 0 δ ρ w U 2 2 y δ - y δ 2 - 4 y δ 2 - 4 y δ 3 + y δ 4   d y

K x = ∫ 0 δ ρ w U 2 2 y δ - 5 y δ 2 + 4 y δ 3 - y δ 4   d y

K x = ρ w U 2 2 y 2 2 δ - 5 y 3 3 δ 2 + 4 y 4 4 δ 3 - y 5 5 δ 4 0 δ

K x = ρ w U 2 2 δ 2 2 δ - 5 δ 3 3 δ 2 + 4 δ 4 4 δ 3 - δ 5 5 δ 4

K x = ρ w U 2 δ 1 - 5 3 + 1 - 1 5

K x = ρ w U 2 δ 2 15

K x = 1,24 0,6 30 2 0,005 2 15

K x = 0,446   N

Resposta

K x = 0,446   N

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