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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 149

Partindo do repouso, o carrinho mostrado é propelido por uma catapulta hidráulica (jato de líquido). O jato atinge a superfície curva e é defletido de 180 ° , saindo na horizontal. As resistências de rolamento e do ar podem ser desprezadas. Se a massa do carrinho é de 100   k g e o jato de água sai do bocal (área 0,001   m 2 ) com uma velocidade de 35   m / s , determine a velocidade do carrinho 5   s após ser atingido pelo jato. Trace um gráfico da velocidade do carrinho em função do tempo.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e não a resistência, então, F B x = F S x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

u 1 = ( v - u ) ;

u 2 = - ( v - u ) .

Substituindo a x = d u d t :

- d u d t ⋅ m = v - u ⋅ - ρ ⋅ v - u ⋅ A - v - u ⋅ ρ ⋅ v - u ⋅ A

d u d t = 2 v - u 2 ⋅ ρ A m

d u v - u 2 = 2 ⋅ ρ A m d t

Substituindo d u por - d ( v - u ) :

- ∫ 0 u d ( v - u ) v - u 2 = ∫ 0 t 2 ⋅ ρ A m d t

∫ V v - u d ( v - u ) v - u 2 = ∫ 0 t 2 ⋅ ρ A m d t

Integrando, obtemos:

1 v - u - 1 v = 2 ⋅ ρ A m ⋅ t

Passo 4

Ajeitando a equação obtida:

v - ( v - u ) v ( v - u ) = 2 ⋅ ρ A m ⋅ t

Substituindo u = v - u :

v - u v ( v - u ) = u v ( v - u ) = 2 ⋅ ρ A m ⋅ t

Rearranjando:

v - u u = m 2 ρ A v t

v u - 1 = m 2 ρ A v t

v u = m 2 ρ A v t + 1

v u = m + 2 ρ A v t 2 ρ A v t

Finalmente, obtemos:

u = v ⋅ 2 ρ A v t m + 2 ρ A v t

Passo 5

Sendo:

v = 35   m / s ;

m = 100   k g ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

A = 0,001   m 2 ;

t = 5 s .

Temos:

u = 35 ⋅ 2 ⋅ 1000 ⋅ 0,001 ⋅ 35 ⋅ 5 100 + 2 ⋅ 1000 ⋅ 0,001 ⋅ 35 ⋅ 5 = 35 ⋅ 350 450 = 27,2   m / s  

Passo 6

Como:

u = 35 ⋅ 70 ⋅ t 100 + 70 ⋅ t

Traçaremos um gráfico da velocidade do carrinho em função do tempo.

Resposta

u = 27,2   m / s  

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