4.105 Um fluido com massa específica ρ = 750   k g / m 3 escoa ao longo de uma placa plana de largura 1 m. A velocidade da corrente livre, não perturbada, é U 0 = 10   m / s . Em L = 1   m a jusante da borda de ataque da placa, a espessura da camada-limite é δ = 5   m m . O perfil de velocidade nesse local é

u U o = 3 2 y δ - 1 2   y δ 3

Trace o gráfico do perfil da velocidade. Calcule a componente horizontal da força requerida para manter a placa estacionária.

Passo 1

Vamos usar a figura do exercício anterior, pois é bem parecido.

Passo 2

Vamos começar encontrando a vazão mássica que sai do volume de controle através do lado bc. Vamos usar a equação de continuidade.

ρ U 0 w δ = m ˙ b c + ∫ 0 δ ρ U 0 3 2 y δ - 1 2   y δ 3 w   d y

m ˙ b c = ρ U 0 w δ - ∫ 0 δ ρ U 0 3 2 y δ - 1 2   y δ 3 w   d y

m ˙ b c = ρ U 0 w δ - ρ U 0 w 3 y 2 4 δ - y 4 8 δ 3 0 δ

m ˙ b c = ρ U 0 w δ - ρ U 0 w 3 δ 2 4 δ - δ 4 8 δ 3

m ˙ b c = ρ U 0 w δ - ρ U 0 w δ 3 4 - 1 8

m ˙ b c = ρ U 0 w δ 1 - 3 4 + 1 8

m ˙ b c = ρ U 0 w δ 3 8

Passo 3

Agora vamos usar a componente x da equação da quantidade de movimento.

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ∫ 0 δ u ρ u w   d y

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ∫ 0 δ U 0 3 2 y δ - 1 2   y δ 3 ρ U 0 3 2 y δ - 1 2   y δ 3 w   d y

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ∫ 0 δ ρ U 0 2 w 4 9 y 2 δ 2 - 6 y 4 δ 4 + y 6 δ 6   d y

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ρ U 0 2 w 4 9 y 3 3 δ 2 - 6 y 5 5 δ 4 + y 7 7 δ 6 0 δ

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ρ U 0 2 w 4 9 δ 3 3 δ 2 - 6 δ 5 5 δ 4 + δ 7 7 δ 6

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ρ U 0 2 w δ 4 3 - 6 5 + 1 7

R x = U 0 - ρ U 0 w δ + U 0 m ˙ b c + ρ U 0 2 w δ 4 68 35

R x = - ρ U 0 2 w δ + U 0 ρ U 0 w δ 3 8 + ρ U 0 2 w δ 17 35

R x = - ρ U 0 2 w δ + ρ U 0 2 w δ 3 8 + ρ U 0 2 w δ 17 35

R x = ρ U 0 2 w δ - 1 + 3 8 + 17 35

R x = 750 10 2 1 0,005 - 1 + 3 8 + 17 35

R x = - 52,2   N

Mas a força pra manter a placa estacionária é:

K x = - R x

K x = 52,2   N

Resposta

K x = 52,2   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados