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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 45

45 - Um termômetro de radiação é um instrumento que responde a um fluxo radiante em um intervalo espectral estabelecido e é calibrado para indicar a temperatura de um corpo negro que produz o mesmo fluxo.

(a) Quando apontado para uma superfície a uma temperatura elevada T s e que tem uma emissividade menor do que a unidade, o termômetro irá indicar uma temperatura aparente conhecida por temperatura de radiação espectral T λ . Essa temperatura T λ será maior, menor ou igual a T s ?

(b) Escreva uma expressão para o poder emissivo espectral da superfície em termos da distribuição espectral de Wien (veja o Problema 12.27) e da emissividade espectral da superfície. Escreva a expressão equivalente usando a temperatura de radiação espectral da superfície e mostre que na qual λ representa o comprimento de onda no qual o termômetro

opera.

(c) Considere um termômetro de radiação que responde a um fluxo espectral centrado ao redor do comprimento de onda de 0,65   μ m . Qual temperatura o termômetro irá indicar quando apontado para uma superfície com ε λ 0,65   μ m = 0,9 e T s = 1000   K ? Verifique que para essa situação a distribuição espectral de Wien é uma aproximação razoável da lei de Planck.

Passo 1

a)

A potência radiante que atinge o termômetro pode ser encontra por meio da seguinte equação:

q λ = ε λ I λ , b λ , T s ⋅ A t ⋅ ω t … … ( 1 )

Onde A t é a área alvo nesse caso, ω t é o ângulo pelo qual a área é visualizada e I λ , b é a intensidade espectral da superfície T s .

De acordo com as condições especificas, o termômetro responde como se estivesse vendo um corpo preto na temperatura radiante espectral T λ .

Já a potência radiante na temperatura radiante espectral pode ser encontrada usando a seguinte relação:

q λ = I λ , b λ , T λ ⋅ A t ⋅ ω t … … ( 2 )

Onde T λ é a temperatura radiante espectral e I λ , b é a intensidade espectral do corpo negro T λ .

Como a emissividade é menor que a unidade ( ε λ < 1 ) , isso resultará em I λ , b λ , T λ < I λ , b λ , T s .

Portanto, o termômetro indica sempre uma temperatura mais baixa que a temperatura da superfície. Logo, a temperatura T λ será menor que a temperatura de superfície T s .

Passo 2

b)

Pela lei de distribuição de Wien, temos que a intensidade espectral de um corpo negro pode ser encontrada por meio da seguinte relação:

I λ , b λ , T = 1 π C 1 λ exp ⁡ C 2 λ T … … ( 3 )

Aqui, C 1 é a primeira constante de radiação, C 2 é a segunda constante de radiação, o λ é o um comprimento das ondas e T é a temperatura absoluto do corpo negro.

Agora venha comigo, porque iremos fazer algumas substituições. Primeiro precisamos substituir a equação ( 3 ) na equação ( 1 ) . Depois a mesma coisa, porém na equação ( 2 ) .

q λ = ε λ 1 π C 1 λ exp ⁡ C 2 λ T λ ⋅ A t ⋅ ω t

q λ = 1 π C 1 λ exp ⁡ C 2 λ T S ⋅ A t ⋅ ω t

Agora vamos igualar ambas equações:

1 π C 1 λ exp ⁡ C 2 λ T λ = ε λ 1 π C 1 λ exp ⁡ C 2 λ T λ

exp ⁡ - C 2 λ T λ = ε λ exp ⁡ - C 2 λ T S

Aplicando o logaritmo nos dois lados, passamos a ter:

ln ⁡ exp ⁡ - C 2 λ T λ   = ln ⁡ ε λ exp ⁡ - C 2 λ T S  

- C 2 λ T λ = ln ⁡ ε λ + - C 2 λ T S

- C 2 λ T λ + C 2 λ T S = ln ⁡ ε λ

ln ⁡ ε λ = C 2 λ - 1 T λ + 1 T s

1 T s = λ C 2 ln ⁡ ε λ + 1 T λ

Portanto, a afirmação é válida.

Passo 3

c)

Agora podemos encontrar a temperatura com o termômetro indicado ao visualizar uma superfície com ε λ 0,65   μ m .

1 T s = λ C 2 ln ⁡ ε λ + 1 T λ

1 1000 = 1 T λ + 0,65 1,439 × 10 4 ln ⁡ ( 0,9 )

1 T λ = 0,001 - 4,53 × 10 - 5 × 0,1059

T λ = 1 1,0048 × 10 - 3

T λ = 995,3   K

Portanto, a temperatura com o termômetro indicado ao visualizar uma superfície com ε λ 0,65   μ m e T s = 1000   K é 995,3   K .

Passo 4

Vamos agora, voltar a relação de distribuição espectral de Wien.

E λ , b λ , T = C 1 λ exp ⁡ C 2 λ T

Temos uma bem parecida, que se chama distribuição de Planck.

E λ , b λ , T = C 1 λ exp ⁡ C 2 λ T - 1

Dessa forma, a proporção das potencias emissivas pode ser calculada.

E λ , b - w i e n λ , T E λ , b - p l a n c k λ , T = C 1 λ exp ⁡ C 2 λ T C 1 λ exp ⁡ C 2 λ T - 1

= exp ⁡ C 2 λ T - 1   exp ⁡ C 2 λ T

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

= exp ⁡ 1,439 × 10 4 0,65 × 1000 - 1 exp ⁡ 1,439 × 10 4 0,65 × 1000

= exp ⁡ 22,14 - 1 exp ⁡ 22,14

= 4117292148 - 1 4117292148

= 0,999 ≈ 1

Portanto, a distribuição espectral de Wien é uma aproximação razoável à lei de Planck para essa situação.

Resposta

  1. A temperatura T λ será menor que a temperatura de superfície T s .
  2. T λ = 995,3   K e 1 T s = λ C 2 ln ⁡ ε λ + 1 T λ .

  3. É uma boa aproximação.
Ver Outros Exercícios desse livro

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