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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 46

46 - Para um comprimento de onda λ especificado, medidas da intensidade espectral I λ , e ( λ ,   T )   =   ε λ I λ , c n da radiação emitida por uma superfície difusa podem ser usadas para determinar a temperatura da superfície, se a emissividade espectral ε λ for conhecida, ou a emissividade espectral, se a temperatura for conhecida.

(a) Definindo a incerteza na determinação da temperatura como d T / T , obtenha uma expressão relacionando essa incerteza àquela associada à medida da intensidade, d I λ / I λ . Para uma incerteza de 10% na medida da intensidade a λ = 10   μ m , qual é a incerteza na temperatura para T = 500   K ? E para T = 1000   K ?

(b) Definindo a incerteza na determinação da emissividade como d ε λ / ε λ , obtenha uma expressão relacionando essa incerteza àquela associada à medida da intensidade, d I λ / I λ . Para uma incerteza de 10% na medida da intensidade, qual é a incerteza na emissividade?

Passo 1

A radiação emitida a partir de uma superfície difusa (que depende do comprimento de onda e independente da direção) pode ser representada da seguinte forma:

E λ = π I λ , e = ε λ C 1 λ 5 exp ⁡ C 2 λ T - 1

Ou seja:

I λ , e = ε λ C 1 π λ 5 exp ⁡ C 2 λ T - 1

Aqui, C 1 ,   C 2 são a primeira e a segunda constante de radiação, a ε λ é a emissividade espectral, I λ , e é a intensidade da radiação T é a temperatura.

Como pedido no enunciado, precisamos encontrar a derivada da intensidade da radiação para determinar a determinação da temperatura. Logo:

d ( I λ , e ) d T = d d T ε λ C 1 π λ 5 exp ⁡ C 2 λ T - 1

Vamos relembrar um pouco sobre derivadas!!! Nesse caso precisaremos utilizar a regra do quociente, você lembra qual é? Para você que não lembra, temos abaixo uma ilustração da fórmula para refrescara a memória.

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g 2 ( x )

Portanto, ao aplicarmos essa regra na função que o exercício pede, passaremos a ter o seguinte resultado:

= - ( ε λ C 1 / π ) λ 5 exp ⁡ C 2 λ T ( - C 2 / λ T 2 ) λ 5 exp ⁡ C 2 λ T - 1 2

= ( ε λ C 1 / π ) λ 5 exp ⁡ C 2 λ T - 1 × exp ⁡ C 2 λ T ( C 2 / λ T 2 ) exp ⁡ C 2 λ T - 1

Como temos I λ , e = ε λ C 1 λ 5 exp ⁡ C 2 λ T - 1 , nossa equação torna-se:

= I λ , e exp ⁡ C 2 λ T ( C 2 / λ T 2 ) exp ⁡ C 2 λ T - 1

d T = d I λ , e I λ , e exp ⁡ C 2 λ T exp ⁡ C 2 λ T - 1 C 2 λ T 2  

Agora precisamos dividir tudo por T para encontrarmos a relação pedida.

d T T = d I λ , e I λ , e 1 - exp ⁡ - C 2 λ T C 2 / λ T

Aqui, o termo d I λ , e I λ , e é a incerteza na medição da intensidade.

Passo 2

Finalmente podemos encontrar a incerteza na temperatura em 500   K .

d T T = d I λ , e I λ , e 1 - exp ⁡ - C 2 λ T C 2 / λ T

Como foi dito no enunciado, a incerteza é de 10   % , portanto vamos comigo substituir as variáveis conhecidos.

= 0,1 × 1 - exp ⁡ - 1,439 × 10 4 / 10 × 500 1,439 × 10 4 / 10 × 500

= 0,1 × 1 - exp ⁡ - 1439 500 1439 500

= 0,03279 × 100   ( % )

= 3,27   %

Portanto, a incerteza na temperatura de 500   K é 3,27   % .

Passo 3

Agora fazemos o mesmo processo, porém com a temperatura de 1000   K .

= 0,1 × 1 - exp ⁡ - 1,439 × 10 4 / 10 × 10 00 1,439 × 10 4 / 10 × 10 00

= 0,1 × 1 - exp ⁡ - 1439 1000 1439 10 00

= 0,053 × 100   ( % )

= 5,3   %

Portanto, a incerteza na temperatura de 10 00   K é 5 , 3   % .

Passo 4

b)

O efeito da emissividade na intensidade pode ser encontrado por meio da seguinte relação a seguir:

d I λ , e d ε λ = I λ , b

d I λ , e d ε λ = I λ , e ε λ

d ε λ ε λ = d I λ , e I λ , e

Aqui, o termo d ε λ ε λ é a incerteza na emissividade.

Passo 5

Como foi dito no enunciado, a incerteza é de 10   % . Portanto podemos usar a equação do passo anterior para obter a incerteza na emissividade.

d ε λ ε λ = d I λ , e I λ , e

d ε λ ε λ = 10 %

Portanto, a incerteza na emissividade é 10 % .

Resposta

  1. Para 500   K temos 3,27 % e para 1000   K temos 5,3 % .
  2. 10 %
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