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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 23

5.23 Avalie ∇ ⋅ ρ V → em coordenadas cilíndricas. Use a definição de ∇ em coordenadas cilíndricas. Substitua o vetor velocidade e aplique o operador gradiente, usando a informação da nota 1 de rodapé. Agrupe termos e simplifique; mostre que o resultado é idêntico à Eq. 5.2c.

Passo 1

Essa questão é puramente de cálculo, então vamos fazendo aos poucos, caso você não se lembre de todas as propriedades.

A definição do operador ∇ para coordenadas cilíndricas é

∇ = e ^ r ∂ ∂ r + e ^ θ 1 r ∂ ∂ θ + k ^ ∂ ∂ z

Como V → = V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^

Fazendo o produto escalar

∇ ⋅ ρ V → = e ^ r ∂ ∂ r + e ^ θ 1 r ∂ ∂ θ + k ^ ∂ ∂ z ⋅ ρ V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^  

∇ ⋅ ρ V → = e ^ r ∂ ∂ r ⋅ ρ V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^ + e ^ θ 1 r ∂ ∂ θ ⋅ ρ V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^

+ k ^ ∂ ∂ z ⋅ ρ V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^

∇ ⋅ ρ V → = e ^ r ⋅ ∂ ρ V r e ^ r ∂ r + ∂ ρ V θ e ^ θ ∂ r + ∂ ρ V z k ^ ∂ r + e ^ θ r ⋅ ∂ ρ V r e ^ r ∂ θ + ∂ ρ V θ e ^ θ ∂ θ + ∂ ρ V z k ^ ∂ θ + k ^ ⋅ ∂ ρ V r e ^ r ∂ z + ∂ ρ V θ e ^ θ ∂ z + ∂ ρ V z k ^ ∂ z

Passo 2

Agora pra seguirmos temos um probleminha que não tivemos na questão onde eram coordenadas cartesianas. Nas derivadas parciais em relação a θ , nós não podemos tirar o e ^ r e o e ^ θ de dentro da derivada, pois eles dependem da coordenada blá blá blá blá. Buuuuuuut (que é mas em inglês), ele dá nas notas de rodapé:

∂ e ^ r ∂ θ = e ^ θ

∂ e ^ θ ∂ θ = - e ^ r

Então:

∇ ⋅ ρ V → = e ^ r ⋅ e ^ r ∂ ρ V r ∂ r + e ^ θ ∂ ρ V θ ∂ r + k ^ ∂ ρ V z ∂ r + e ^ θ r ⋅ ∂ ρ V r e ^ r ∂ θ + ∂ ρ V θ e ^ θ ∂ θ + k ^ ∂ ρ V z ∂ θ + k ^ ⋅ e ^ r ∂ ρ V r e ^ r ∂ z + e ^ θ ∂ ρ V θ e ^ θ ∂ z + k ^ ∂ ρ V z ∂ z

Lembra da derivada do produto? u v ' = u v ' + v u '

∇ ⋅ ρ V → = e ^ r ⋅ e ^ r ∂ ρ V r ∂ r + e ^ θ ∂ ρ V θ ∂ r + k ^ ∂ ρ V z ∂ r

+ e ^ θ r ⋅ ρ V r ∂ e ^ r ∂ θ + e ^ r ∂ ρ V r ∂ θ + ρ V θ ∂ e ^ θ ∂ θ + e ^ θ ∂ ρ V θ ∂ θ + k ^ ∂ ρ V z ∂ θ

+ k ^ ⋅ e ^ r ∂ ρ V r e ^ r ∂ z + e ^ θ ∂ ρ V θ e ^ θ ∂ z + k ^ ∂ ρ V z k ^ ∂ z

Substituindo as notas de rodapé:

∇ ⋅ ρ V → = e ^ r ⋅ e ^ r ∂ ρ V r ∂ r + e ^ θ ∂ ρ V θ ∂ r + k ^ ∂ ρ V z ∂ r

+ e ^ θ r ⋅ ρ V r e ^ θ + e ^ r ∂ ρ V r ∂ θ + ρ V θ - e ^ r + e ^ θ ∂ ρ V θ ∂ θ + k ^ ∂ ρ V z ∂ θ

+ k ^ ⋅ e ^ r ∂ ρ V r e ^ r ∂ z + e ^ θ ∂ ρ V θ e ^ θ ∂ z + k ^ ∂ ρ V z ∂ z

∇ ⋅ ρ V → = e ^ r ⋅ e ^ r ∂ ρ V r ∂ r + e ^ θ ∂ ρ V θ ∂ r + k ^ ∂ ρ V z ∂ r

+ e ^ θ r ⋅ e ^ r ∂ ρ V r ∂ θ - ρ V θ + e ^ θ ∂ ρ V θ ∂ θ + ρ V r + k ^ ∂ ρ V z ∂ θ

+ k ^ ⋅ e ^ r ∂ ρ V r e ^ r ∂ z + e ^ θ ∂ ρ V θ e ^ θ ∂ z + k ^ ∂ ρ V z ∂ z

Lembrando que e ^ r ⋅ e ^ r = e ^ θ ⋅ e ^ θ = k ^ ⋅ k ^ = 1

e que e ^ r ⋅ e ^ θ = e ^ θ ⋅ e ^ r = e ^ r ⋅ k ^ = … = 0 .

Então:

∇ ⋅ ρ V → = ∂ ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ρ V r + ∂ ρ V z ∂ z

Passo 3

∇ ⋅ ρ V → = ∂ ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + 1 r ρ V r + ∂ ρ V z ∂ z

Agora só falta agrupar os termos. Bom... teremos que fazer alguma mágica pro 1 r ρ V r entra dentro da derivada do ∂ r . Para encontrarmos a equação idêntica à que ele quer, não seria necessário se ele não pedisse.

É razoável (mas também um pouco puxado) enxergar que:

∂ ρ V r ∂ r + 1 r ρ V r = 1 r ∂ r ρ V r ∂ r

Então:

∇ ⋅ ρ V → = 1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z

Como queríamos demonstrar.

Resposta

∇ ⋅ ρ V → = 1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z

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