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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 18

5.18 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento incompressível?

(a) V r = U cos ⁡ θ ; V θ = - U   s e n   θ

(b) V r = - q / 2 π r ; V θ = K / 2 π r

(c) V r = U cos ⁡ θ 1 - a r 2 ; V θ = - U   s e n   θ   1 + a r 2

Passo 1

Vamos começar usando a equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0  

Vamos considerar regime permanente e, com isso,

∂ ρ ∂ t = 0

Como só aparecem componentes m r e em θ , vamos admitir

∂ ρ V z ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por r dos dois lados, ficamos com

∂ r ρ V r ∂ r + ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Se o escoamente é incompressívem, então o ρ é constante e pode sair da derivada

ρ ∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por ρ dos dois lados

∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Passo 2

(a) Vamos substituir V r = U cos ⁡ θ ; V θ = - U   s e n   θ na equação encontrada no final do passo 1

∂ r ( U cos ⁡ θ ) ∂ r + ∂ ( - U   s e n   θ ) ∂ θ = 0

U cos ⁡ θ - U cos ⁡ θ = 0

0 = 0

Como a identidade é válida, então o conjunto respresenta um possível caso de escoamento incompressível.

Passo 3

(b) Vamos substituir V r = - q / 2 π r ; V θ = K / 2 π r na equação encontrada no final do passo 1

∂ r - q 2 π r ∂ r + ∂ K 2 π r ∂ θ = 0

∂ - q 2 π ∂ r + ∂ K 2 π r ∂ θ = 0

0 + 0 = 0

Como a identidade é válida, então o conjunto respresenta um possível caso de escoamento incompressível.

Passo 4

(b) Vamos substituir V r = U cos ⁡ θ 1 - a r 2 ; V θ = - U   s e n   θ   1 + a r 2 na equação encontrada no final do passo 1

∂ r U cos ⁡ θ 1 - a r 2 ∂ r + ∂ - U   s e n   θ   1 + a r 2 ∂ θ = 0

∂ U cos ⁡ θ r - a 2 r ∂ r + ∂ - U   s e n   θ   1 + a r 2 ∂ θ = 0

U cos ⁡ θ - - 1   U cos ⁡ θ a 2 r 2 + - U cos ⁡ θ   1 + a r 2 = 0

U cos ⁡ θ + U cos ⁡ θ a 2 r 2 + - U cos ⁡ θ   1 + a r 2 = 0

U cos ⁡ θ 1 + a r 2 - U cos ⁡ θ   1 + a r 2 = 0

0 = 0

Como a identidade é válida, então o conjunto respresenta um possível caso de escoamento incompressível.

Resposta

(a) Sim

(b) Sim

(c) Sim

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