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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 63

5.63 Ar escoa em uma folga estreita, de altura h, entre duas placas paralelas muito próximas, através de uma superfície porosa, conforme mostrado. Use um volume de controle, com superfície externa localizada na posição r, para mostrar que a velocidade uniforme na direção r é V = v 0 r / 2 h . Encontre uma expressão para a componente da velocidade na direção z v 0 ≪ V . Avalie a aceleração de uma partícula fluida na folga.

Passo 1

Considerandoestado estacionário, fluido incompressível e velocidade na direção θ igual a zero.

Vamos usar a equação da continuidade para achar V .

0 = V 1 A 1 + V 2 A 2

0 = - v 0 π r 2 + V 2 π r h

V 2 π r h = v 0 π r 2

V = v 0 r 2 h

Como queríamos demonstrar.

Passo 2

Agora vamos aplicar a forma diferencial da equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas para achar V z .

1 r ∂ ∂ r r V r + ∂ ∂ z V z = 0

1 r ∂ ∂ r r v 0 r 2 h + ∂ ∂ z V z = 0

1 r 1 v 0 r 2 h + r v 0 2 h + ∂ ∂ z V z = 0

1 r v 0 r h + ∂ ∂ z V z = 0

v 0 h + ∂ ∂ z V z = 0

∂ ∂ z V z = - v 0 h

Separando as variáveis e integrando:

d V z = - v 0 h d z

∫ d V z = ∫ - v 0 h d z

V z = - v 0 h z + C

Onde C é a constante de integração.

Como V z = v 0 quand z = 0 , então:

v 0 = - v 0 h 0 + C

C = v 0

Ficamos, então, com:

V z = - v 0 h z + v 0

V z = v 0 1 - z h

Passo 3

Baseado em tudo que assumimos lá em cima, a aceleração da partícula pode ser caculada com:

Na direção r :

a p r = V r ∂ V r ∂ r + V z ∂ V r ∂ z

Calculando as derivadas parciais:

∂ V r ∂ r = v 0 2 h

∂ V r ∂ z = 0

Então:

a p r = v 0 r 2 h v 0 2 h

a p r = v 0 2 r 4 h 2

Passo 4

Na direção z :

a p z = V r ∂ V z ∂ r + V z ∂ V z ∂ z

Calculando as derivadas parciais:

∂ V z ∂ r = 0

∂ V z ∂ z = - v 0 h

Então:

a p r = v 0 1 - z h - v 0 h

a p r = v 0 2 h z h - 1

Resposta

V z = v 0 1 - z h

a p r = v 0 2 r 4 h 2

a p r = v 0 2 h z h - 1

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