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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 24

5.24 Um campo de velocidade em coordenadas cilíndricas é dado por V → = ê r A / r + ê θ B / r , em que A e B são constantes com dimensões de m 2 / s . Isso representa um possível escoamento incompressível? Trace a linha corrente que passa pelo ponto r 0 = 1   m , θ = 90 ° , se A = B = 1   m 2 / s , se A = 1   m 2 / s e B = 0 , e B = 1   m 2 / s e A = 0 .

Passo 1

Vamos começar usando a equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0  

Vamos considerar regime permanente e, com isso,

∂ ρ ∂ t = 0

Como a velocidade só tem componentem em r e θ

∂ ρ V z ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por r dos dois lados, ficamos com

∂ r ρ V r ∂ r + ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Se o escoamente é incompressívem, então o ρ é constante e pode sair da derivada

ρ ∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por ρ dos dois lados

∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Substituindo V r = A / r e V θ = B / r

∂ r A r ∂ r + ∂ B r ∂ θ = 0

0 + 0 = 0

Como satisfaz a equação, então é um possível escoamente incompressível.

Passo 2

Para linha de corrente bidimensional (em r e θ ), usamos

d r d θ = r   V r V θ

Substituindo V r = A / r e V θ = B / r

d r d θ = r   ( A / r ) ( B / r )

d r d θ = r A B  

Separando as variáveis e integrando

d r r = A B d θ

∫ d r r = A B ∫ d θ

ln ⁡ r = A B θ + C

Arrumando (usando a linda matemática)

e ln ⁡ r = e A B θ + C

r = e A B θ + C

Onde C é uma constante.

Passo 3

Vamos ter que manipular a equação da linha de corrente de forma que passe por r 0 = 1   m e θ = 90 ° = π 2 para os valores de A e B definidos no enunciado. Vai parecer um pouco de mágica, mas pensando um pouquinho e fazendo aos poucos fica mais tranquilo.

→   Para A = B = 1   m 2 / s :

r = e 1 1 θ + C

r = e θ + C

Substituindo r 0 = 1   m e θ = π 2

1 = e π 2 + C

Achando C

Como e π 2 + C = e π 2 e C

1 = e π 2 e C

e C = 1 / e π 2

e C = e - π 2

C = - π 2

A linha de corrente fica

r = e θ - π 2

→   Para A = 1   m 2 / s e B = 0 :

Aqui vamos usar a equação ainda com o log e arrumar antes de substituir os valores de A e B para nao ter nada dividido por zero, pois B = 0

ln ⁡ r = A B θ + C

B ln ⁡ r = A   θ + B   C

Substituindo A e B

0 ln ⁡ r = 1   θ + 0   C

0 = θ + 0

θ = 0

Isso significa que a linha de corrente não depende de r

A linha de corrente fica

θ = π 2

→   Para B = 1   m 2 / s e A = 0 :

r = e 0 1 θ + C

r = e C

Isso mostra que a linha de corrente não depende de θ

Substituindo r 0 = 1   m e θ = π 2

1 = e C

Achando C

C = 0

A linha de corrente fica

r = e 0

r = 1

Plotando

Resposta

r = e A B θ + C

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