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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 16

Dada a função de corrente Ψ = a r - b θ , para r ≠ 0 , onde a e b são constantes positivas:

  1. Determinar a equação das trajetórias;
  2. Calcular a vazão em volume através de uma superfície semicircular de raio r e centro na origem, de espessura unitária;
  3. Verificar se o movimento é irrotacional e, se for, determinar a função potencial.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos determinar a equação das trajetórias por:

d r = v r d t

v r pode ser encontrado a partir da seguinte relação:

v r = ∂ Ψ r ∂ θ

Desenvolvendo, temos que:

v r = ∂ a r - b θ r ∂ θ

v r = - b r

Portanto, temos que:

d r = - b r d t

Passo 2

Integrando a expressão anterior, teremos que:

∫ r d r = ∫ - b d t

r 2 2 = - b t

r 2 = - 2 b t

A trajetória não pode ser expressa em função do tempo, portanto:

v θ = - ∂ Ψ ∂ r

Sabendo que:

v θ = r θ ˙ = r d θ d t

E:

- ∂ Ψ ∂ r = - ∂ a r - b θ ∂ r = - a

Temos que:

- a = r d θ d t

- a d t = r d θ

Integrando, temos que:

∫ - a d t = ∫ r d θ

- a t = r θ

Logo:

t = - r θ a

Passo 3

Sendo assim, temos que:

r 2 = - 2 b - r θ a

Logo, a equação da trajetória é dada por:

r = 2 b θ a

Passo 4

Para calcularmos a vazão, temos a seguinte equação:

Q = ∫ v r d A

O elemento de área d A pode ser relacionado com o raio r e o ângulo θ , portanto:

d A = r d θ

Substituindo os valores conhecidos, temos que:

Q = ∫ - b r r d θ

Resolvendo a integral, temos que:

Q = ∫ 0 π - b d θ

Q = - b θ 0 π

Logo, podemos concluir que a vazão será:

Q = - b π + 0

Q = - b π

Passo 5

Para saber se o movimento é irrotacional, a seguinte igualdade deve ser obedecida:

∂ v r ∂ θ - ∂ v θ ∂ r = 0

Desenvolvendo, temos que:

∂ ∂ θ - b r - ∂ ∂ r - a = 0

0 - 0 = 0

Concluindo assim que o movimento é irrotacional.

Passo 6

Para determinar a função potencial, temos que:

v r = ∂ ϕ ∂ r

E:

v θ = ∂ ϕ r ∂ θ

Desenvolvendo a primeira equação, temos que:

- b r = ∂ ϕ ∂ r

- b ∂ r r = ∂ ϕ

Integrando, temos que:

∫ - b ∂ r r = ∫ ∂ ϕ

- b ln ⁡ r = ϕ r

Analogamente, temos que:

- a = ∂ ϕ r ∂ θ

- a r ∂ θ = ∂ ϕ

Integrando, temos que:

∫ - a r ∂ θ = ∫ ∂ ϕ

- a r θ = ϕ θ

Combinando os resultados, teremos que a função potencial é dada por:

ϕ r , θ = - b ln ⁡ r - a r θ

Resposta

a )   r = 2 b θ a

b )   Q = - b π

c )   M o v i m e n t o   i r r o t a c i o n a l

ϕ r , θ = - b ln ⁡ r - a r θ

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