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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 26

5.26 Determine a família de funções ψ que resultará do campo de velocidades V → = 2 y 2 x + 1 i ^ + [ x x + 1 - 2 y 2 ] j ^ .

Passo 1

Usando a definição de função de corrente

u ≡ ∂ ψ ( x , y ) ∂ y

Como u = 2 y ( 2 x + 1 )

2 y 2 x + 1 = ∂ ψ x , y ∂ y

Separando as variáveis e integrando em relação a y

d ψ x , y = 2 y 2 x + 1 d y

∫ d ψ x , y = 2 x + 1 ∫ 2 y   d y

ψ x , y = 2 x + 1 y 2 + C

ψ x , y = 2 x y 2 + y 2 + C

Onde C é constante em relação a y , mas pode ser função de x , então vamos representar por f x

ψ x , y = 2 x y 2 + y 2 + f x                     ( i )

Passo 2

Usando a definição de função de corrente

v ≡ - ∂ ψ ( x , y ) ∂ x

Como v = x x + 1 - 2 y 2

x x + 1 - 2 y 2 = - ∂ ψ x , y ∂ x

Separando as variáveis e integrando em relação a x

d ψ x , y = - x x + 1 - 2 y 2 d x

d ψ x , y = ( 2 y 2 - x 2 - x ) d x

∫ d ψ x , y = ∫ ( 2 y 2 - x 2 - x ) d x

ψ x , y = 2 y 2 x - x 3 3 - x 2 2 + K

Onde K é constante em relação a x , mas pode ser função de y , então vamos representar por g y

ψ x , y = 2 y 2 x - x 3 3 - x 2 2 + g y                   ( i i )

Passo 3

Comparando i e i i , percebemos que

f x = - x 3 3 - x 2 2

g y = y 2

Portanto, a função de corrente

ψ x , y = 2 y 2 x - x 3 3 - x 2 2 + y 2

Resposta

ψ x , y = 2 y 2 x - x 3 3 - x 2 2 + y 2

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