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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 34

5.34 Um perfil cúbico de velocidade foi usado para modelar o escoamento em uma camada-limite laminar e incompressível no Problemas 5.13. Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volumétrica total na camada-limite.

Passo 1

A equação do perfil é u U = 3 2 y δ - 1 2 y δ 3

u = U 3 2 y δ - 1 2 y δ 3

Usando a definição de função de corrente

u = ∂ ψ ∂ y

U 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 = ∂ ψ ∂ y

Separando as variáveis e integrando em relação a y

d ψ = U 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 d y

∫ d ψ = U ∫ 3 2 y δ - 1 2 y δ 3   d y

ψ = U 3 4 y 2 δ - 1 8 y 4 δ 3 + C

Onde C é a constante em relação a y  

Como ψ = 0 em y = 0 , então C = 0 , e a função de corrente fica

ψ = U 3 4 y 2 δ - 1 8 y 4 δ 3

Passo 2

A linha de corrente tem valor máximo em y = δ

ψ m á x = U 3 4 δ 2 δ - 1 8 δ 4 δ 3

ψ m á x = U 3 4 δ - 1 8 δ

ψ m á x = 5 8 U δ

A vazão volumétrica total pode ser calculada como

Q t o t = ψ m á x - ψ m í n

Como ψ m í n = 0

Q t o t = 5 8 U δ - 0

Q t o t = 5 8 U δ

Um quarto da vazão total

Q = Q t o t 4

Q = 5 8 U δ 4

Q = 5 32 U δ

Como Q t o t = ψ m á x - ψ m í n e ψ m í n = 0 , a linha de corrente que divide a vazão total em um quarto é

ψ = 5 32 U δ

Igualando a função de corrente geral com a encontrada para um quarto da vazão

U 3 4 y 2 δ - 1 8 y 4 δ 3 = 5 32 U δ

Vamos manipular um pouco

3 4 y 2 δ - 1 8 y 4 δ 3 = 5 32 δ

24 y 2 δ - 4 y 4 δ 3 = 5 δ

24 δ y δ 2 - 4 δ y δ 4 = 5 δ

24 y δ 2 - 4 y δ 4 = 5

- 4 y δ 4 + 24 y δ 2 - 5 = 0

Agora vamos forçar um pouco na matemática pra resolver a equação

Chamando y δ 2 = X , ficamos com

- 4   X 2 + 24   X - 5 = 0

Resolvendo

X = - 24 ± 24 2 - 4 - 4 - 5 2 - 4

X = - 24 ± 24 2 - 4 4 5 - 8

X = 0,216   ∨   X = 5,784

Como y δ 2 = X e y δ   é um valor entre 0 e 1 e y δ 2 também tem que ser, então vamos usar somente X = 0,216

y δ 2 = 0,216

y δ = 0,216

y δ = 0,465

Metade da vazão total

Q = 5 8 U δ 2

Q = 5 16 U δ

Como Q t o t = ψ m á x - ψ m í n e ψ m í n = 0 , a linha de corrente que divide a vazão total em um quarto é

ψ = 5 16 U δ

Igualando a função de corrente geral com a encontrada para um quarto da vazão

U 3 4 y 2 δ - 1 8 y 4 δ 3 = 5 16 U δ

Vamos manipular um pouco

3 4 y 2 δ - 1 8 y 4 δ 3 = 5 16 δ

12 y 2 δ - 2 y 4 δ 3 = 5 δ

12 δ y δ 2 - 2 δ y δ 4 = 5 δ

12 y δ 2 - 2 y δ 4 = 5

- 2 y δ 4 + 12 y δ 2 - 5 = 0

Agora vamos forçar um pouco na matemática pra resolver a equação

Chamando y δ 2 = X , ficamos com

- 2   X 2 + 12   X - 5 = 0

Resolvendo

X = - 12 ± 12 2 - 4 - 2 - 5 2 - 2

X = - 12 ± 12 2 - 4 2 5 - 4

X = 0 , 450   ∨   X = 5 , 550

Como y δ 2 = X e y δ   é um valor entre 0 e 1 e y δ 2 também tem que ser, então vamos usar somente X = 0 , 450

y δ 2 = 0 , 450

y δ = 0 , 450

y δ = 0 , 671

Resposta

ψ = U 3 4 y 2 δ - 1 8 y 4 δ 3

y δ = 0,465

y δ = 0,671

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