Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 27

5.27 O Campo de velocidade do Problema 5.24 representa um possível caso de escoamente incompressível? Se afirmativo, avalie e trace a função de corrente para o escoamento. Se negativo, avalie a taxa de variação da massa específica no campo de escoamento.

Passo 1

O campo de velicidade é V → = ê r A / r + ê θ B / r .

Vamos começar usando a equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0  

Vamos considerar regime permanente e, com isso,

∂ ρ ∂ t = 0

Como a velocidade só tem componentem em r e θ

∂ ρ V z ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por r dos dois lados, ficamos com

∂ r ρ V r ∂ r + ∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Se o escoamente é incompressívem, então o ρ é constante e pode sair da derivada

ρ ∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Multiplicando por ρ dos dois lados

∂ r V r ∂ r + ∂ V θ ∂ θ = 0

Substituindo V r = A / r e V θ = B / r

∂ r A r ∂ r + ∂ B r ∂ θ = 0

0 + 0 = 0

Como satisfaz a equação, então é um possível escoamente incompressível.

Passo 2

Usando a definição de função de corrente

V r ≡ 1 r ∂ ψ ∂ θ

Como V r = A / r

A r = 1 r ∂ ψ r , θ ∂ θ

A = ∂ ψ r , θ ∂ θ

Separando as variáveis e integrando em relação a θ

d ψ r , θ = A   d θ

∫ d ψ r , θ = ∫ A   d y

ψ r , θ = A θ + C

Onde C é constante em relação a θ , mas pode ser função de r , então vamos representar por f r

ψ r , θ = A θ + f r                   ( i )

Passo 3

Usando a definição de função de corrente

V θ ≡ - ∂ ψ ( r , θ ) ∂ r

Como V θ = B / r

B r = - ∂ ψ ( r , θ ) ∂ r

Separando as variáveis e integrando em relação a r

d ψ r , θ = - B r d x

∫ d ψ ( r , θ ) = - B ∫ 1 r d x

ψ r , θ = - B ln ⁡ r + K

Onde K é constante em relação a r , mas pode ser função de θ , então vamos representar por g θ

ψ r , θ = - B ln ⁡ r + g θ                 ( i i )

Passo 4

Comparando i e i i , percebemos que

f r = - B ln ⁡ r

f θ = A θ

Portanto, a função de corrente

ψ r , θ = A θ - B ln ⁡ r

Plotanto

Resposta

ψ r , θ = A θ - B ln ⁡ r

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dada a função potencial ϕ = x 2 - y 2 para um fluido incompressível em movimento plano irrotacional, determinara função potecialo campo de velocidades
Dado o campo de velocidades do escoamento plano de um fluido ideal incompressível: v x = 2 x 2 2 - t - 6 x ⋅ f y , t ⋅ ln ⁡ t v y = - 6 x 2 y2 - t + 2 y 3 ( 2 - t ) Determinar f ( y , t ) para que o e
Seja Ψ = 9 + 6 x - 4 y + 7 x y .Verificar se essa função pode ser a função de corrente de um fluido inompressível.Verificar se o escoamento é irrotacionalDeterminar a velocidade no ponto (0,0)
Um campo de escoamento é representado pela função de corrente ψ = x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 . Determine o campo de velocidade correspondente. Mostre que este campo de escoamento é irrotacional e obte
A função de corrente de um campo de escoamento é ψ = A x 2 y - B y 2 , em que A = 1 m - 1 . s - 1 , B = 1 3m - 1 . s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Encontre uma expressão para o potencial