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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 33

5.33 Deduza a função de corrente que representa a aproximação senoidal usada para modelar a componente x da velocidade na camada limite do Problemas 5.12. Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volumétrica total na camada-limite.

Passo 1

A equação do perfil é u = U   s e n   π y 2 δ

Usando a definição de função de corrente

u = ∂ ψ ∂ y

U   s e n   π y 2 δ = ∂ ψ ∂ y

Separando as variáveis e integrando em relação a y

d ψ = U   s e n   π y 2 δ d y

∫ d ψ = U ∫ s e n   π y 2 δ d y

ψ = - 2 U δ π cos ⁡ π y 2 δ + C

Onde C é a constante em relação a y  

Como ψ = 0 em y = 0 , então C = 0 , e a função de corrente fica

ψ = - 2 U δ π cos ⁡ π y 2 δ

Passo 2

A linha de corrente tem valor máximo em y = δ

ψ δ = - 2 U δ π cos ⁡ π δ 2 δ

ψ δ = - 2 U δ π cos ⁡ π 2

A vazão volumétrica total pode ser calculada como

Q t o t = ψ ( δ ) - ψ 0

Q t o t = - 2 U δ π cos ⁡ π 2 - - 2 U δ π cos ⁡ 0

Q t o t = 2 U δ π

Um quarto da vazão total

Q = Q t o t 4

Q = 2 U δ π 4

Q = U δ 2 π

Fazendo Q = ψ y - ψ 0

U δ 2 π = - 2 U δ π cos ⁡ π y 2 δ - - 2 U δ π cos ⁡ 0

U δ 2 π = - 2 U δ π cos ⁡ π y 2 δ + 2 U δ π

U δ 2 π = 2 U δ π 1 - cos ⁡ π y 2 δ

1 4 = 1 - cos ⁡ π y 2 δ

cos ⁡ π y 2 δ = 3 4

π y 2 δ = a r c cos ⁡ 3 4

y δ = 2 π   a r c cos ⁡ 3 4

Igualando a função de corrente geral com a encontrada para um quarto da vazão

- 2 U δ π cos ⁡ π y 2 δ = - U δ 2 π

cos ⁡ π y 2 δ = 1 4

π y 2 δ = a r c cos ⁡ 1 4

y δ = 2 π   a r c cos ⁡ 1 4

Metade da vazão total

Q = Q t o t 2

Q = 2 U δ π 2

Q = U δ π

Fazendo Q = ψ y - ψ 0

U δ π = - 2 U δ π cos ⁡ π y 2 δ - - 2 U δ π cos ⁡ 0

U δ π = - 2 U δ π cos ⁡ π y 2 δ + 2 U δ π

U δ π = 2 U δ π 1 - cos ⁡ π y 2 δ

1 2 = 1 - cos ⁡ π y 2 δ

cos ⁡ π y 2 δ = 1 2

π y 2 δ = a r c cos ⁡ 1 2

y δ = 2 π   a r c cos ⁡ 1 2

y δ = 2 π π 3

y δ = 2 3

Resposta

ψ = - 2 U δ π cos ⁡ π y 2 δ

y δ = 2 π   a r c cos ⁡ 1 4

y δ = 2 3

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