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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 35

5.35 Exemplo 5.6 pelo campo de velocidade V → = r ω e ^ θ . Determine a função de corrente para este escoamento. Avalie a vazão em um volume por unidade de profundidade entre r 1 = 0,10   m e r 2 = 0,12   m , se ω = 0,5   r a d / s . Esboce o perfil de velocidade ao longo de uma linha de θ constante. Confira a vazão em volume calculada a partir da função de corrente, integrando o perfil de velocidade ao longo dessa linha.

Passo 1

Usando a definição de função de corrente

V θ = - ∂ ψ ∂ r

Como V θ = r ω

r ω = - ∂ ψ ∂ r

Separando as variáveis e integrando

d ψ = - r ω   d r

∫ d ψ = - ω ∫ r   d r

ψ = - ω r 2 2 + C

Onde C é constante em relação a θ

Como ψ = 0 em r = 0 , então C = 0 , e a função de corrente fica

ψ = - ω r 2 2

Passo 2

A vazão entre r 1 = 0,10   m e r 2 = 0,12   m pode ser calculada como

Q = ψ r 2 - ψ r 1

Q = - ω 0,12 2 2 - - ω 0,10 2 2

Q = ω 0,10 2 2 - ω 0,12 2 2

Q = ω 2 0,10 2 - 0,12 2

Com ω = 0,5   r a d / s

Q = 0,5 2 0,10 2 - 0,12 2

Q = - 0,0011 m 3 s   m

Passo 3

Integrando o perfil de velocidade:

Q = ∫ r 1 r 2 V θ d r  

Q = ∫ r 1 r 2 r ω d r

Q = r 2 2 ω r 1 r 2

Q = 0,0011 m 3 s   m

Resposta

ψ = - ω r 2 2

Q = - 0,0011 m 3 s   m

Q = 0,0011 m 3 s   m

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