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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 112

Mostre por expansão e separando os termos real e imaginário que f = z 6 (em que z é o número complexo z = x + i y ) conduz a um potencial de velocidade válido (a parte real de f ) e a uma função de corrente correspondente (a parte negativa imaginária de f ) de um escoamento irrotacional e incompressível. Mostre que as partes real e imaginária de d f d z conduzem a - u e v , respectivamente.

Passo 1

Temos uma questão de demonstração…

Bom, vamos lá!

O enunciado nos diz que f = z 6 , e que z = x + i y , então podemos escrever a função f de um outro jeito, para ficar mais fácil de visualizar:

f ( z ) = ( x + i y ) 6

Humm… Melhorou nossa visualização, né?! Beleza!

Agora precisamos fazer um Remember em números complexos para a gente poder fazer a expansão do z 6 , show?

Vamos ficar com o seguinte:

Nosso enunciado já nos deu a dica: Que a parte real corresponde a nossa função potencial e a parte imaginária a nossa função de corrente. Então partimos para o próximo passo!

Passo 2

Agora que já temos as equações:

ψ ( x , y ) = - 6 x y 5 - 6 x 5 y + 20 x 3 y 3 φ ( x , y ) = x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6

Vamos utilizar a informação chave desta questão, que o enunciado nos deu: Nosso fluido é Incompressível e Irrotacional! Sendo assim, podemos usar as relações:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Para descobrir as componentes da velocidade!

Não faz diferença se usarmos a função potencial ou a função de corrente, mas vamos colocar as duas para nos certificar que darão o mesmo resultado. Vamos lá!

Começando pela função de corrente:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = ∂ ∂ y ( - 6 x y 5 - 6 x 5 y + 20 x 3 y 3 ) v = - ∂ ∂ x ( - 6 x y 5 - 6 x 5 y + 20 x 3 y 3 )

u ( x , y ) = - 30 x y 4 - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 v ( x , y ) = 6 y 5 + 30 x 4 y - 60 x 2 y 3

Agora a função potencial:

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

u = - ∂ ∂ x ( x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 ) v = - ∂ ∂ y ( x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 )

u ( x , y ) = - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 v ( x , y ) = 30 x 4 y - 60 x 2 y 3 + 6 y 5

Passo 3

Show! Já temos as funções velocidade, agora com elas podemos provar a hipótese de escoamento irrotacional:

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

E escoamento incompressível:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Pois o nosso exercício quer que a gente prove essas afirmações. Então partiu!

Começando com o irrotacional:

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

∂ ( 30 x 4 y - 60 x 2 y 3 + 6 y 5 ) ∂ x - ∂ ( - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 ) ∂ y = 0

120 x 3 y - 120 x y 3 - 120 x 3 y + 120 x y 3 = 0

Maravilha! Provamos que este escoamento é irrotacional. Agora vamos provar se é incompressível:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ ( - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 ) ∂ x + ∂ ( 30 x 4 y - 60 x 2 y 3 + 6 y 5 ) ∂ y = 0

- 30 x 4 + 180 x 2 y 2 - 30 y 4 + 30 x 4 - 180 x 2 y 2 + 30 y 4 = 0

Beleza pura! Provamos que ele também é incompressível! Mandamos bem!

Passo 4

Agora só falta a última parte! Vamos resistir bravamente!

O exercício quer ainda que a gente mostre que d f d z das partes real e imaginária corresponderam a - u e v … Humm...Então vamos ao teste!

Começando pela parte real:

d f d z = d ( z 6 ) d z = 6 z 5 → 6 ( x + i y ) 5

Expandindo o número complexo, agora em relação a quinta potência e multiplicando por 6, vamos ter:

( 6 x 5 - 60 x 3 y 2 + 30 x y 4 ) + ( 30 x 4 y + 6 y 5 - 60 x 2 y 3 ) i

Relembrando do u ( x , y ) e v ( x , y ) encontrado lá em cima:

u ( x , y ) = - 6 x 5 + 60 x 3 y 2 - 30 x y 4 v ( x , y ) = 30 x 4 y - 60 x 2 y 3 + 6 y 5

Constatamos que Sim! d f d z de f ( z ) = z 6 é equivalente a - u e v .

Acabamos! Ufa! Deu tudo certo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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