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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 16

Um campo de velocidade permanente, bidimensional, incompressível, possui componentes de velocidade cartesiana u = C y x 2 +   y 2 e v = - C x x 2 +   y 2 , onde C é uma constante. Transforme essas componentes cartesianas de velocidade em componentes cilíndricos de velocidade u r   e   u θ , simplificando o máximo possível. Você deve reconhecer esse fluxo. Que tipo de fluxo é esse?

Passo 1

Faaaaala galerinhaa!!

Animados para seguir?

Já estamos carecas de saber que:

u r = u . cos ⁡ θ + v sen ⁡ θ

u θ = - u . sen ⁡ θ + v . cos ⁡ θ

O problema nos disse que:

u = C y x 2 +   y 2

v = - C x x 2 +   y 2

Substituindo:

u r = C y x 2 +   y 2 . cos ⁡ θ + - C x x 2 +   y 2 sen ⁡ θ

u θ = - C y x 2 +   y 2 . sen ⁡ θ + - C x x 2 +   y 2 . cos ⁡ θ

Só que nós ainda temos coordenadas cartesianas aqui, e queremos coordenadas cilíndricas !!

Para remover estas coordenadas teremos que relembrar de três equações dadas ao longo do capítulo:

r 2 = x 2 + y 2

x = r . cos ⁡ θ  

y = r . sen ⁡ θ

Colocando nas equações:

u r = C r . sen ⁡ θ r 2 . cos ⁡ θ + - C r . cos ⁡ θ r 2 sen ⁡ θ

u r = C sen ⁡ θ . cos ⁡ θ r - C sen ⁡ θ . cos ⁡ θ r = 0

E para a próxima:

u θ = - C r . sen ⁡ θ r 2 + - C r . cos ⁡ θ r 2 . cos ⁡ θ

u θ = - C . sen 2 ⁡ θ r - C . cos 2 ⁡ θ r = - C r sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

u θ = - C r

Sendo assim:

u r ,   u θ = 0 ,   - C r

Isso nos trás um escoamento em linha de vórtex, vamos ver a Figura:

E é isso aí !!

Resposta

u r ,   u θ = 0 ,   - C r

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