Usando a Fig. P9–13 como guia, transforme os componentes cartesianos de velocidade ( u ,   v ,   w ) em componentes cilíndricos de velocidade ( u r ,   u θ ,   u z ) . (Dica: Como o componente z da velocidade permanece o mesmo nessa transformação, precisamos apenas considerar o plano xy).

Passo 1

Bora seguir?

Então siiimboraaa..

Vamos colocar os ângulos que podemos observar na figura P9.14:

Agora que já achamos os ângulos nós podemos achar o u r em relação ao eixo x e ao eixo y.

Quando observamos na Figura nós podemos montar um triângulo em função de u r ,   u ,   v   e   θ , quando fazemos isso encontramos:

u r x u = cos ⁡ θ

u r y v = sen ⁡ θ

O que nos trás uma componente na direção x:

u r x = u . cos ⁡ θ

E na direção y:

u r y = v sen ⁡ θ

Portanto, a componente u r é a soma destas duas, certo?

u r = u . cos ⁡ θ + v sen ⁡ θ

A mesma coisa para u θ :

u θ x = - u . sen ⁡ θ

u θ y = v . cos ⁡ θ

E a componente u θ :

u θ = - u . sen ⁡ θ + v . cos ⁡ θ

O valor da velocidade na direção z continua igual durante a transformação:

w = u z

Sendo assim:

u r ,   u θ ,   u z = u . cos ⁡ θ + v sen ⁡ θ ,   - u . sen ⁡ θ + v . cos ⁡ θ ,   u z

Basicamente o oposto do que vimos no exercício anterior, não é?

O mais difícil aqui é conseguir visualizar estas relações no desenho, percam um pouquinho de tempo na figura e depois vai ser sucesso !!

Resposta

u r ,   u θ ,   u z = u . cos ⁡ θ + v sen ⁡ θ ,   - u . sen ⁡ θ + v . cos ⁡ θ ,   u z

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