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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 39

5.39 Considere o campo de velocidade no plano x y dado por V → = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 i ^ + A 4 x y 3 - 4 x 3 y j ^ em que A = 0,25   m - 3 s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Este é um possível campo de escoamento incompressível? Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto x , y = 2,1 .

Passo 1

O campo de velocidade é V → = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 i ^ + A 4 x y 3 - 4 x 3 y j ^   (na versão do livro em português está faltando parte do campo)

Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Considerando regime permanente

∂ ρ ∂ t = 0

Ficamos, então, com

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é no plano x y , então

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Substituindo u = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 e v = A 4 x y 3 - 4 x 3 y

∂ A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 ∂ x + ∂ A 4 x y 3 - 4 x 3 y ∂ y = 0

A 4 x 3 - 12 x y 2 + A 12 x y 2 - 4 x 3 = 0

0 = 0

Como satisfaz a equação, então é um possível escoamento incompressível.

Passo 2

Para a aceleração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não depende de z e admitimos regime permanente

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = A ( 4 x 3 - 12 x y 2 ) i ^ + A 4 y 3 - 12 x 2 y j →

∂ V → ∂ y = A - 12 x 2 y + 4 y 3 i ^ + A 12 x y 2 - 4 x 3 j ^

Como u = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 e v = A 4 x y 3 - 4 x 3 y

a → p = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 A ( 4 x 3 - 12 x y 2 ) i ^ + A 4 y 3 - 12 x 2 y j → + A 4 x y 3 - 4 x 3 y A - 12 x 2 y + 4 y 3 i ^ + A 12 x y 2 - 4 x 3 j ^

a → p = A 2 4 x 7 - 12 x 5 y 2 - 24 x 5 y 2 + 72 x 3 y 4 + 4 x 3 y 4 - 12 x y 6 i ^ +

A 2 4 x 4 y 3 - 12 x 6 y - 24 x 2 y 5 + 72 x 4 y 3 + 4 y 7 - 12 x 2 y 5 j ^ +

A 2 - 48 x 3 y 4 + 16 x y 6 + 48 x 5 y 2 - 16 x 3 y 4 i ^ +

A 2 48 x 2 y 5 - 16 x 4 y 3 - 48 x 4 y 3 + 16 x 6 y j ^

a → p = A 2 4 x 7 + 12 x 5 y 2 + 12 x 3 y 4 + 4 x y 6 i ^ + A 2 12 x 4 y 3 + 4 x 6 y + 12 x 2 y 5 + 4 y 7 j ^

No ponto x , y = 2,1

a → p = A 2 4 2 7 + 12 2 5 1 2 + 12 2 3 1 4 + 4 2 1 6 i ^ + A 2 12 2 4 1 3 + 4 2 6 1 + 12 2 2 1 5 + 4 1 7 j ^

a → p = A 2 512 + 384 + 96 + 8 i ^ + A 2 192 + 256 + 48 + 4 j ^

a → p = A 2 1000 i ^ + A 2 500 j ^

Como A = 0,25

a → p = 0,25 2 996 i ^ + 0,25 2 500 j ^

a → p = 62 , 5 i ^ + 31,25 j ^

Calculando o módulo

a → p = 62 , 5 2 + 31,25 2

a → p = 69 , 9   m / s 2

Resposta

Incompressível

a → p = 69,9   m / s 2

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