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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 59

5.59 Um perfil de velocidade aproximadamente linear foi usado no Problema 5.10 para modelar uma camada-limite laminar e incompressível sobre uma placa plana. Para este perfil, obtenha expressões para as componentes x e y da aceleração de uma partícula fluida na camada-limite. Localize as componentes x e y da aceleração de módulos máximos. Calcule a razão entre o módulo máximo da aceleração em x e o módulo máximo da aceleração em y, para as condições de escoamento do Problema 5.10.

Passo 1

Da questão 5.10 temos:

u = U y δ

v = u y 4 x = U y δ y 4 x

Como δ = c x , em que c é constante.

u = U y c x 1 2

v = U y 2 4 c x 3 2

Ficando, então:

V → = U y c x 1 2 i ^ + U y 2 4 c x 3 2 j ^

Para a aceleração da partícula,

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não tem componente z e considerando regime permanente,

w ∂ V → ∂ z = 0

∂ V → ∂ t = 0

Então:

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais primeiro,

∂ V → ∂ x = - 1 2 U y c x 3 2 i ^ + - 3 2 U y 2 4 c x 5 2 j ^ = - 1 2 U y c x 3 2 i ^ - 3 8 U y 2 c x 5 2

∂ V → ∂ y = U c x 1 2 i ^ + 2 U y 4 c x 3 2 j ^

Substituindo,

a → p = U y c x 1 2 - 1 2 U y c x 3 2 i ^ - 3 8 U y 2 c x 5 2 j ^ + U y 2 4 c x 3 2 U c x 1 2 i ^ + 2 U y 4 c x 3 2 j ^

a → p = - 1 2 U 2 y 2 c 2 x 2 i ^ - 3 8 U 2 y 3 c 2 x 3 j ^ + U 2 y 2 4 c 2 x 2 i ^ + U 2 y 3 8 c 2 x 3 j ^

a → p = - 1 4 U 2 y 2 c 2 x 2 i ^ - 1 4 U 2 y 3 c 2 x 3 j ^

Então as componentes x   e y ficam:

a p , x = - 1 4 U 2 y 2 c 2 x 2

a p , y = - 1 4 U 2 y 3 c 2 x 3

Mágicamente, se fizermos (o que, de longe, não é necessário), c x 1 2 = δ , ficamos com:

a p , x = - 1 4 U 2 y 2 x δ 2

a p , y = - 1 4 U 2 y 3 x 2 δ 2

TCHARAAMMM, achamos o gabarito forçado.

Passo 2

Os valores máximos das componentes da aceleração são quando y = δ .

a p , x m á x = - 1 4 U 2 δ 2 x y δ 2 = - 1 4 U 2 x    

a p , y m á x = - 1 4 U 2 δ 3 x 2 δ 2 = - 1 4 U 2 δ x 2

Passo 3

Calculando a razão pedida.

a p , x m á x a p , y m á x = 1 4 U 2 x 1 4 U 2 δ x 2

a p , x m á x a p , y m á x = x δ

Temos os valores do exercícios 5.10, x = 0,5   m e δ = 0,005   m .

a p , x m á x a p , y m á x = 0,5 0,005

a p , x m á x a p , y m á x = 100

Resposta

a p , x = - 1 4 U 2 y 2 x δ 2

a p , y = - 1 4 U 2 y 3 x 2 δ 2

a p , x m á x = - 1 4 U 2 x    

a p , y m á x = - 1 4 U 2 δ x 2

a p , x m á x a p , y m á x = 100

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